充分統(tǒng)計(jì)量與完備統(tǒng)計(jì)量-文庫(kù)吧
2025-07-21 02:32 本頁(yè)面
【正文】 xxkP n X kxk??? ? ??????? ?? ?????如 果 ，如 果 ， 1 1 2 211( , , , ),()0,nnniiniiP X x X x X xxkP n X kxk??? ? ??????? ?? ?????如 果 ，如 果 ， 1111( 1 ),( 1 )0,nniiiix n xnik k n kinniippxkC p pxk??????? ??? ????? ???????如 果 ，如 果 ， 111,0,nikinniixkCxk??????? ?? ?????如 果 ，如 果 ，與 p 無(wú)關(guān)，所以 X 為 p 的充分統(tǒng)計(jì)量 . 定義 設(shè)nXXX , 21 ?為來(lái)自總體 X 的樣本， X 的分布函數(shù)為 ? ??。xF ， T=T (nXXX , 21 ?) 為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)給定 T=t 時(shí)，如果樣本（nXXX , 21 ?） 的條件分布（離散總體時(shí)為條件概率，連續(xù)總體時(shí)為條件密度）與參數(shù) ? 無(wú)關(guān)，則稱(chēng) T 為參數(shù) ? 的 充分統(tǒng)計(jì)量 。 對(duì)統(tǒng)計(jì)量 T ，如果已知它的值以后，樣本的條件分布與 ? 無(wú)關(guān)，就意味著樣本的剩余部分中已不再包含 關(guān)于 ?的信息，也就是在 T 中已包含有關(guān) ? 的全部信息。因此，對(duì) ? 的統(tǒng)計(jì)推斷只需要從 T 出發(fā)即可，不再需要樣本數(shù)據(jù)。 二、 因子分解定理 根據(jù)充分統(tǒng)計(jì)量的含義，在對(duì)總體未知參數(shù)進(jìn)行推斷時(shí)，應(yīng)在可能的情況下盡量找出關(guān)于未知參數(shù)的充分統(tǒng)計(jì)量。 但從定義出發(fā)來(lái)判別一個(gè)統(tǒng)計(jì)量是否是充分統(tǒng)計(jì)量是很麻煩的。 為此，需要一個(gè)簡(jiǎn)單的判別準(zhǔn)則。下面給出一個(gè)定理 —— 因子分解定理 ，運(yùn)用這個(gè)定理，判別甚至尋找一個(gè)充分統(tǒng)計(jì)量有時(shí)會(huì)很方便。 定理 1 . 3 （因子分解定理） （ 1 ）連續(xù)型情況：設(shè)總體 X 具有分布密度),(),。(21 nXXXxf ??是一樣本，),(21 nXXXT ?是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，則 T 為 ? 的充分統(tǒng)計(jì)量的充要條件是：樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)可以分解為 ????ninnixxxTgxxxhxfL12121))。,((),()。()( ??? ??, ( 1 . 3 ) 其中 h 是nxxx ,21?的非負(fù)函數(shù)且 ? 無(wú)關(guān)，g僅通過(guò) T 依賴(lài)于nxxx ,21?。 2 ） 離散型情況 ：設(shè)總體 X 的分布律為? ?iP X x? i 1 2 np ( x 。 ) ( i 1 , 2 , ) , T ( X , X , , X )? ? ?一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，則 T 是 ? 的充分統(tǒng)計(jì)量的充要條件是：樣本的聯(lián)合分布律可表示為 ? ? ? ????????niinnxXPxXxXxXP12211, ? ))。,((),(2121?nnxxxTgxxxh ??? （ 1 .4 ） 其中 h 是nxxx ,21?的非負(fù)函數(shù)且與 ? 無(wú)關(guān)，g僅通過(guò) T 依賴(lài)于n
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