八年級（下）幾何綜合-文庫吧
2025-07-03 09:52 本頁面
【正文】 ③設ＣＰ的中點為Ｍ，連接ＤＭ； M P E D A B C 提示：本題有多種證明方法，現(xiàn)提供幾種輔助線的作法供選用： ④延長ＤＥ至Ｆ，使ＥＦ＝ＤＥ，連接ＣＦ． F P E D A B C 例 2:已知如圖所示，△ＡＢＣ中， ＣＥ ⊥ ＡＢ于Ｅ，ＢＦ ⊥ ＡＣ于Ｆ， 若Ｓ △ＡＢＣ ＝３６ｃｍ ２ ， Ｓ △ＡＥＦ ＝４ｃｍ ２ ， 求 EC∶AC 的值． E F A B C 【 解析 】 要求線段ＥＣ與ＡＣ的比值，由題目條件易證△ＡＥＣ ∽ △ＡＦＢ，得出比例式ＡＥ ∶ ＡＦ＝ＡＣ ∶ ＡＢ，可換個角度看圖形，則比例式ＡＥ ∶ ＡＦ＝ＡＣ ∶ ＡＢ又可看成是使△ＡＥＦ ∽ △ＡＣＢ成立的條件，從而尋求到轉(zhuǎn)機，后面的問題就易于解決了． E F A B C 解： ∵ ＣＥ ⊥ ＡＢ于Ｅ， ＢＦ ⊥ ＡＣ于Ｆ， ∴∠ ＡＥＣ＝ ∠ ＡＦＢ． ∵∠ Ａ＝ ∠ Ａ， ∴ △ＡＥＣ ∽ △ＡＦＢ， ∴ ＡＢ ∶ ＡＦ＝ＡＣ ∶ ＡＥ， 又 ∵∠ Ａ是公共角， ∴ △ＡＥＦ ∽ △ＡＣＢ， ∴ ( ＡＥ ∶ ＡＣ )２ ＝Ｓ △ＡＥＦ ∶ Ｓ △ＡＣＢ ＝４ ∶ ３６． 設ＡＥ＝ｋ，則ＡＣ＝３ｋ， ∴ ＥＣ ＝２ √ ２ｋ， ∴ EC∶AC= ２ √ ２ ∶ 3 E F A B C 當證兩個三角形相似時，若兩個三角形有公共角，一般運用 “ 兩組對應邊的比相等且夾角也相等，兩三角形相似 ”證明． 一般證明線段成比例的問題或者計算問題．在證明時我們一般要遵循以下三步： （１） “ 定 ” ：先確定比例式中的四條線段所在的兩個可能相似的三角形． （２） “ 找 ” ：找出這兩個三角形相似所需的條件． （３） “ 證 ” ：根據(jù)以上分析，寫出證明過程．如果這兩個三角形不相似，只能采用其他方法，如利用找中間比代替或引平行線等． 例 3:如圖所示，點Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運動，ＡＣ與ＢＥ交于點Ｆ． （１）如圖①，當點Ｅ運動到ＤＣ的中點時，求△ＡＢＦ 與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比； FEBDCA圖① 例 3:如圖所示，點Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運動，ＡＣ與ＢＥ交于點Ｆ． （２）如圖②，當點Ｅ運動到ＣＥ ∶ ＥＤ＝２ ∶ １時，求△ＡＢＦ與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比； 圖② F E B D C A 例 3:如圖所示，點Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運動，ＡＣ與ＢＥ交于點Ｆ． （３）當點Ｅ運動到ＣＥ ∶ ＥＤ＝３ ∶ １時，寫出△ＡＢＦ與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比；當點Ｅ運動到ＣＥ ∶ ＥＤ＝ｎ ∶ １（ｎ是正整數(shù)）時，猜想△ＡＢＦ與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比（只寫結(jié)果，不要求寫出計算過程）； F E B D C A F E B D C A 例 3:如圖所示，點Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運動，ＡＣ與ＢＥ交于點Ｆ． （４）請你利用上述圖形，提出一個類似的問題 ． F E B D C A F E B D C A 例 3:如圖所示，點Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運動，ＡＣ與ＢＥ交于點Ｆ．（１）如圖①，當點Ｅ運動到ＤＣ的中點時，求△ＡＢＦ 與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比； 圖① 解：（１）如圖①，連接ＤＦ． 因為點Ｅ為ＣＤ的中點， 所以ＥＣ :ＡＢ＝ＥＣ :ＤＣ ＝１ :２． 據(jù)題意可證△ＦＥＣ ∽ △ＦＢＡ， 所以Ｓ △ＣＥＦ :Ｓ △ＡＢＦ ＝１ :４． 因為Ｓ △ＤＥＦ ＝Ｓ △ＣＥＦ ， Ｓ △ＡＢＦ ＝Ｓ △ＡＤＦ ． 所以Ｓ △ＡＢＦ :Ｓ 四邊形ＡＤＥＦ ＝ Ｓ △ＡＢＦ : (Ｓ △ＡＤＦ ＋Ｓ △ＤＥＦ )＝４ : ５． F E B D A C 例 3:如圖所示，點Ｅ在正方形ＡＢＣＤ的邊ＣＤ上運動，ＡＣ與ＢＥ交于點Ｆ． （２）如圖②，當點Ｅ運動到ＣＥ ∶ ＥＤ＝２ ∶ １時，求△ＡＢＦ與四邊形ＡＤＥＦ的面積之比； 圖② （２）如圖②，連接ＤＦ． 與（１）同理可知， Ｓ △ＣＥＦ ∶ Ｓ △ＡＢＦ ＝４ ∶ ９， Ｓ △ＤＥＦ ∶ Ｓ △ＣＥＦ ＝１ ∶ ２， Ｓ △ＡＤＦ ＝Ｓ △ＡＢＦ ， 所以Ｓ △ＡＢＦ ∶ Ｓ 四邊形ＡＤＥＦ
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