【正文】 測量裝置的前提下，使測量精度提高，同時設(shè)計焊接了電路系統(tǒng)，為后期實時顯示周期與自動測算轉(zhuǎn)動慣量奠定了硬件基礎(chǔ)。該設(shè)計準(zhǔn)確度高，人為干擾因素小，可以較大幅度提高實驗測算數(shù)據(jù)的可信度，和提高工作效率。河南工業(yè)大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院0第 2 章 轉(zhuǎn)動慣量的運用研究與測量 轉(zhuǎn)動慣量的物理意義及其運用轉(zhuǎn)動慣量是表征剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量，剛體轉(zhuǎn)動慣量的大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的難易程度。通過公式 或 可以知道，轉(zhuǎn)動慣量的大小由物體的質(zhì)量、2irmJ??drJ??2質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置三個因素來決定。式中 r 為組成剛體的質(zhì)量微元 Δm （或 dm）到轉(zhuǎn)軸的垂直距離，求和號i i（或積分號）遍及整個剛體。轉(zhuǎn)動慣量只決定于剛體的形狀、質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸的位置，而同剛體繞軸的轉(zhuǎn)動狀態(tài)（如角速度的大?。o關(guān)。規(guī)則形狀的均質(zhì)剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可直接計算得到。不規(guī)則剛體或非均質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動慣量，一般用實驗法測定。轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)用于剛體各種運動的動力學(xué)計算中。描述剛體繞互相平行諸轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系，有如下的平行軸定理：剛體對一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于該剛體對同此軸平行并通過質(zhì)心之軸的轉(zhuǎn)動慣量加上該剛體的質(zhì)量同兩軸間距離平方的乘積，公式為 ,由于和式的第239。mdJ??二項 md 恒大于零，因此剛體繞過質(zhì)量中心之軸的轉(zhuǎn)動慣量是繞該束平行軸諸轉(zhuǎn)2動慣量中的最小者 [3]。轉(zhuǎn)動慣量的量綱為[L M]，在 SI 單位制中，它的單位是 kgm 。2 2首先需要引出動能公式 ,而動能的實際物理意義是：物體相對某2)/1(mvE?個系統(tǒng)（選定一個參考系）運動的實際能量，（P 勢能實際意義則是物體相對某個系統(tǒng)運動的可能轉(zhuǎn)化為運動的實際能量的大小）。把 代入動能公式 (ω 是角速度，r 是半徑，在這里對任何物體來說是把rv??物體微分化分為無數(shù)個質(zhì)點，質(zhì)點與運動整體的重心的距離為 r，而再把不同質(zhì)點積分化得到實際等效的 r)，得到 ，由于某一個對象物體在運動2)(/1rmE??當(dāng)中的本身屬性 m 和 r 都是不變的，所以把關(guān)于 m、r 的變量用一個變量 K 代替，得到 ，K 就是轉(zhuǎn)動慣量，分析實際情況中的作用相當(dāng)于2rK?2)/1(E?牛頓運動平動分析中的質(zhì)量的作用，都是一般不輕易變的量。 這樣分析一個轉(zhuǎn)動問題就可以用能量的角度分析了，而不必拘泥于只從純運動角度分析轉(zhuǎn)動問題。從能量角度分析轉(zhuǎn)動問題：1） 本身代表研究對象的運動能量。 2)/(?KE?第 2 章 轉(zhuǎn)動慣量的運用研究與測量12）之所以用 難以分析轉(zhuǎn)動物體的問題，是因為其中不包含轉(zhuǎn)動)/1(mvE?物體的任何轉(zhuǎn)動信息。 3） 除了不包含轉(zhuǎn)動信息，而且還不包含體現(xiàn)局部運動的信息，2)/(因為里面的速度 v 只代表那個物體的質(zhì)心運動情況。 4） 之所以利于分析，是因為包含了一個物體的所有轉(zhuǎn)動信息，2/1E?因為轉(zhuǎn)動慣量 本身就是一種積分得到的數(shù)，更細一些講就是綜合了轉(zhuǎn)動mrK物體的轉(zhuǎn)動不變的信息的等效結(jié)果 （這里的 K 和上面的 J 一樣）。 ??2mrK所以，就是因為有了轉(zhuǎn)動慣量，從能量的角度分析轉(zhuǎn)動問題，才有了價值。下面簡單介紹轉(zhuǎn)動慣量在各個方面的運用。1. 轉(zhuǎn)動慣量在車輛轉(zhuǎn)彎時的應(yīng)用車輛過彎時應(yīng)該要考慮轉(zhuǎn)動慣量。不僅漂移過彎需要算到轉(zhuǎn)動慣量，抓地過彎也要算到轉(zhuǎn)動慣量：如果把車看成是剛體的話，那剛體在合外力矩 M 的作用下，所獲得的角加速度與合外力矩大小成正比，與轉(zhuǎn)動慣量 J 成反比。而轉(zhuǎn)動慣量不考慮車過彎的速度，只考慮質(zhì)量和旋轉(zhuǎn)半徑。所以后半段特別是在快出彎時，由于輪胎持續(xù)打滑所以不能獲得足夠向前的加速度，漂移出彎不如抓地出彎 [4]。2. 人體轉(zhuǎn)動慣量在體育中的應(yīng)用實際上現(xiàn)實的物體是有大小的，它的質(zhì)量不可能集中于一點，而是分布在物體的各點上，各點到轉(zhuǎn)動軸的距離又不相同。這樣一來，就應(yīng)該運用公式把每一點的轉(zhuǎn)動慣量算出，然后再相加，這樣才能得到整個物體的轉(zhuǎn)動慣量。雖然在分析動作時，并不一定要用轉(zhuǎn)動慣量的準(zhǔn)確值，但熟練地掌握人體在各種姿勢時轉(zhuǎn)動慣量的差別仍是必要的。 例如，在扣排球時，由引臂開始， R 減小，角速度ω 增加。在去打排球瞬間將臂打開，在已獲得較大的 ω的基礎(chǔ)上，突然增大 R，這樣線速度 V 增加，從而獲得大的揮臂速度。3. 汽車的三軸轉(zhuǎn)動慣量汽車的三軸轉(zhuǎn)動慣量是指汽車空車整備質(zhì)量狀態(tài)下的橫擺轉(zhuǎn)動慣量、俯仰轉(zhuǎn)動慣量和側(cè)傾轉(zhuǎn)動慣量，按照汽車坐標(biāo)系，這三軸轉(zhuǎn)動慣量分別是繞質(zhì)心 Z 軸、繞質(zhì)心 Y 軸和繞質(zhì)心 X 軸的轉(zhuǎn)動慣量。這些參數(shù)以及車輛的質(zhì)心位置對汽車的安全性、平穩(wěn)性和平順性有很大影響。在新車設(shè)計時, 必須運用這些特性參數(shù),通過動力學(xué)模型來預(yù)測車輛的動力學(xué)性能。另外，在進行實驗評價時,為檢驗理論分析時所用特性參數(shù)的正確性, 以及車輛間進行比較時, 都要求高精度地測量這些特性參數(shù) [5]。河南工業(yè)大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院24. 轉(zhuǎn)動慣量對活塞壓縮機驅(qū)動電機主軸的重要性近代壓縮機對振動的控制要求日益嚴格，對于大中型壓縮機，軸系的扭轉(zhuǎn)振動以為外國公司列為計算項目之一，正常情況下，壓縮機應(yīng)該在共振區(qū)之外運行，如果在共振區(qū)中運行，軸將產(chǎn)生很大振幅，以致在軸段中引起足以損壞軸的附加應(yīng)力。所以必須對軸的轉(zhuǎn)動慣量進行計算，進而確定準(zhǔn)確的飛輪矩，以保證驅(qū)動機與壓縮機不在危險的范圍內(nèi)運轉(zhuǎn)，并保證滿足一定的轉(zhuǎn)速不均勻度與電流波動值的要求 [6]。 現(xiàn)有的轉(zhuǎn)動慣量測算方法1. 直接代數(shù)計算法剛體轉(zhuǎn)動慣量 永遠是一個正的標(biāo)量，在動量矩定理中，剛體定軸2LJdm???轉(zhuǎn)動微分方程可以表達為：J za=Mz，這與動力學(xué)基本方程 F=ma 是相似的，式中，轉(zhuǎn)動慣量的地位與質(zhì)量 m 相當(dāng)。掌握轉(zhuǎn)動慣量的概念和如何測定剛體的轉(zhuǎn)動慣量是十分重要的。一些常見勻質(zhì)規(guī)則幾何形狀的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量可查工程手冊，但一些不規(guī)則形狀和非均質(zhì)的剛體，其轉(zhuǎn)動慣量是很難計算，一般需要用實驗方法求得。由密度不同的材料組成，且形狀不規(guī)則，需要用實驗的方法測試出其轉(zhuǎn)動慣量。2. 三維建模法測量物體轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量是物理學(xué)及工程力學(xué)中經(jīng)常遇見的問題, 在數(shù)學(xué)分析教材中僅給出了三維空間中的質(zhì)量物體 V 對三個坐標(biāo)軸(X 軸， Y 軸，Z 軸) 的轉(zhuǎn)動慣量的計算方法。而對于三維空間中對于一般直線甚至連平行于坐標(biāo)軸的直線的轉(zhuǎn)動慣量都沒有給出計算方法。本文根據(jù)數(shù)學(xué)分析和解析幾何的相關(guān)知識, 應(yīng)用微元法給出空間中的質(zhì)量曲線 S 和質(zhì)量立體 V 對任意直線 l 的轉(zhuǎn)動慣量的計算方法。用三維建模軟件計算轉(zhuǎn)動慣量，給出的是三組數(shù)值，分別是：1）慣性主軸和慣性力矩，由重心決定；2）由重心決定，并且對齊輸出的坐標(biāo)系。3）由輸出座標(biāo)系決定。慣性主軸的定義：定義 1：三條相互垂直的坐標(biāo)軸，其中構(gòu)件慣性積等于零的某一坐標(biāo)軸。定義 2：對通過物體一給定點的每組笛卡爾坐標(biāo)軸，該物體的三個慣性積通常不等于零，若對于某一上述的坐標(biāo)軸物體的慣性積為零，則這種特定的坐標(biāo)軸稱為主慣性軸。慣性積：構(gòu)件中各質(zhì)點或質(zhì)量單元的質(zhì)量與其到兩個相互垂直平面的距離之第 2 章 轉(zhuǎn)動慣量的運用研究與測量3AB工 作 臺系 桿 動 鼠平 衡 重21mrJ???? 21()mJrJ????乘積的總和。慣性力矩就是轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量嚴格定義是一個物體上，它的每一極小塊乘以那一小塊到轉(zhuǎn)動中心的距離的平方，再把乘積都加和起來就是轉(zhuǎn)動慣量：K=mr 2。俗稱慣性矩。慣性矩俗稱慣性力距，慣性力矩。3. 動鼠沿圓周運動測轉(zhuǎn)動慣量設(shè)有一可繞鉛垂軸自由轉(zhuǎn)動的雙層圓盤，其對 Z 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 J，如圖 21 所示。圖 21 慣量測試儀實驗裝置結(jié)構(gòu)圖上層為工作臺，其上刻有同心圓線，下層為動盤，動鼠在其上跑動，系桿與軸 Z 以滑動軸承連接。鼠在半徑為 r 的圓周上運動。欲測量物體對過其質(zhì)心軸Z1 某軸的轉(zhuǎn)動慣量 J1，將該物體質(zhì)心過 Z 軸，且使 Z 軸和 Z1 軸重合，設(shè)動鼠質(zhì)量為 m，平衡質(zhì)量亦為 m，暫略系桿質(zhì)量，使鼠沿圓周跑動，設(shè)動鼠轉(zhuǎn)過的圓心角為 φ，則動盤反向轉(zhuǎn)動的角 θ 為： 從而可求得：若考慮系桿的質(zhì)量，設(shè)動鼠系統(tǒng)對 Z 軸轉(zhuǎn)動慣量為 JO，且動鼠相對靜系轉(zhuǎn)過角度為 φ O，則有 φ=φ O+θ，于是測量的 J1 為： （210010()J???????）對于偏置待測物體，Z 1 軸過 O 可測出。J 11=J1 若其過 A，注意 A 與 O 點相距為 r1，測時使待測物與工作臺緊貼，可測出：河南工業(yè)大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院420()TMgrJl?? （22）021JJ????理論值應(yīng)為 J12=J11+r12M1，其中 M1 為待測物質(zhì)量，這里應(yīng)用平行移軸公式， 若采取 Z1 軸過 O，A，B 等不同的點可測出 θ i， φ 0i 通過一組代數(shù)方程組便可計算出 M1 與 J1。設(shè) A 與 O 距離 r1，B 與 O 相距為 r2，如待測物質(zhì)量 M1 相對質(zhì)心軸 Z1 的轉(zhuǎn)動慣量為 J1，通過兩次測定便知 M1，J 1。先使 Z1 過 A 有φ 01， θ 1，則有： （23）其中，J 0 是動鼠系統(tǒng)對 Z 軸的轉(zhuǎn)動慣量，J 是動盤系統(tǒng)對 Z 軸的轉(zhuǎn)動慣量，φ 0i 是動鼠系統(tǒng)相對靜系的轉(zhuǎn)角， θ i 是動盤系統(tǒng)相對靜系的轉(zhuǎn)角。4. “三線擺”法測慣量方法分析本課題所涉及“三線擺”法測轉(zhuǎn)動慣量計算公式：下面將就該公式的推導(dǎo)過程進行說明。J0—對圓盤中心的轉(zhuǎn)動慣量；T —擺動圓盤的周期；L —線長；M —圓盤質(zhì)量；g —重力加速度；r —線與圓盤固結(jié)點的半徑； R —圓盤半徑。 設(shè)圓盤最大轉(zhuǎn)動角為 ，當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)動角為 時， m??由圖示幾何關(guān)系： 22 三線擺示意圖maxax,rll??圓盤扭轉(zhuǎn)振動時最大動能為： 2max02max0max11???nJdtJT????????202020221()r???????第 2 章 轉(zhuǎn)動慣量的運用研究與測量5圓盤扭轉(zhuǎn)振動時最大勢能為： ∵ ， tn??simax?maxax?nd???????∴ ??2max2ama 1co1?lrMglMglU?對于保守系統(tǒng)： maxaT?得圓盤振動的固有圓頻率或固有頻率： lJMgrn022?? lfn021?則轉(zhuǎn)動慣量 (注意不是 R)。lgrTJ20)(?對于一個均質(zhì)圓盤用三根平行線懸吊后，給一個初始扭轉(zhuǎn)角小于 6176。，測得扭轉(zhuǎn)振動周期 T 代入計算公式，即得轉(zhuǎn)動慣量，此式與理論上的精確公式： (24)比較，就得到了誤差。從計算公式(24)中可以看出，要求得圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，需要知道線長 l。而不同的線長將導(dǎo)致實驗測得的圓盤轉(zhuǎn)動慣量值不同，所以找到測量誤差最小時的線長 l 也是該實驗階段的重點部分。因為對應(yīng)不同的擺線長，測得的轉(zhuǎn)動慣量值不一樣，那么其誤差也不一樣，通過上面的實驗可以找到對應(yīng)誤差最小的擺線長。在確定出誤差最小的擺線長度后，就可以測量電磁鐵的轉(zhuǎn)動慣量了。如圖 23 所示，先將兩個三線擺盤調(diào)至測量誤差最小時的位置，(a)盤上放置待測電磁鐵，讓盤心與電磁鐵轉(zhuǎn)動中心重合；(b)盤放置二個帶有強磁性的圓柱體，它們在圓盤上的位置 S 是可以調(diào)節(jié)的，此兩圓柱體合起來的重量應(yīng)等同于電磁鐵重量。2lJMR?河南工業(yè)大學(xué)繼續(xù)教育學(xué)院6因為(a)、(b)圓盤上的物體重量完全相等，根據(jù)線擺法的等效原理，如果它們的扭轉(zhuǎn)振動周期也相同的話，那么它們的轉(zhuǎn)動慣量是相等的。(b)盤上圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量是可以計算的，兩邊圓盤的轉(zhuǎn)動周期都是可以測量的，這樣把計算和測量結(jié)合起來，就可以獲得電磁鐵的轉(zhuǎn)動慣量。(a) (b)圖 23 兩個等效的三線擺而要使兩個圓盤上物體的轉(zhuǎn)動周期完全一致，這一問題難以實現(xiàn)，因此可以先測出左邊圓盤的轉(zhuǎn)動周期，然后調(diào)節(jié)右邊圓盤上兩個圓柱體之間的距離，測量不同距離時圓盤的轉(zhuǎn)動周期，最后利用差值法，就可以得出與電磁鐵扭轉(zhuǎn)周期相同的兩個圓柱體的周期。如圖所示，設(shè)置兩圓柱體不同的中心距為 S，分別測出各 S 的扭轉(zhuǎn)振動周期，兩個圓柱對中心軸轉(zhuǎn)動慣量可按公式(25)進行計算。 (25)測量與兩個圓柱等重的電磁鐵的扭振周期 T(s)，應(yīng)用（兩圓柱在不同距離時所測周期及所求轉(zhuǎn)動慣量）數(shù)據(jù)表及插入法，求得電磁鐵的轉(zhuǎn)動慣量 J0(kgm2)[7]。 各種測算方法分析通過上述 4 種轉(zhuǎn)動慣量的測試方法分析可得出以下結(jié)論：第一種計算方法在測算復(fù)雜不規(guī)則物體的轉(zhuǎn)動慣量時這種方法不適用，而日常工程中所需測算的轉(zhuǎn)動慣量往往也是不規(guī)則的；第二種三維建模計算的方法需要借助軟件工作，雖然結(jié)果比較準(zhǔn)確，但是在????????????????????2201mdJ第 2 章 轉(zhuǎn)動慣量的運用研究與測量7運用過程中，所需測算的物體的材料，密度，幾何尺寸往往是比較復(fù)雜的，繪圖工作量巨大。第三種動鼠沿圓周運動測轉(zhuǎn)動慣量需借助一個復(fù)雜的設(shè)備且測