【正文】 y ＝ ax2＋ bx ＋ c 的步驟 ( 1) 用配方法化成 y ＝ a ( x － h )2＋ k 的形式； ( 2) 確定圖象的開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo)； ( 3) 在對(duì)稱軸的兩側(cè)利用對(duì)稱性描點(diǎn)畫(huà)圖． 3 ． 二次函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù) 二次函數(shù) y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( 其中 a ， b ， c 為常數(shù) ， a ≠ 0 ) 條件 a 0 a 0 圖象 函數(shù) 二次函數(shù) y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( 其中 a ， b ， c 為常數(shù) ， a ≠ 0 ) 開(kāi)口 方向 拋物線開(kāi)口向上 ， 并向上無(wú)限延伸 拋物線開(kāi)口向下 ， 并向下 無(wú)限延伸 對(duì)稱 軸、頂 點(diǎn) 對(duì)稱軸是 x ＝－b2 a， 頂點(diǎn)坐標(biāo)是??????－b2 a，4 ac － b24 a 函數(shù) 二次函數(shù) y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( 其中 a ， b ， c 為常數(shù) ， a ≠ 0 ) 增減性 在對(duì)稱軸的左側(cè) ， 即當(dāng)x ＜－b2 a時(shí) ， y 隨 x 的增大而減?。辉趯?duì)稱軸的右側(cè) ， 即當(dāng) x ＞－b2 a時(shí) ，y 隨 x 的增 大而增大，簡(jiǎn)記為 “ 左減右增 ” 在對(duì)稱軸的左側(cè) ， 即當(dāng) x ＜－b2 a時(shí) ， y 隨 x的增大而增大；在對(duì)稱軸的右側(cè) ， 即當(dāng) x＞－b2 a時(shí) ， y 隨 x 的增大而減小 ， 簡(jiǎn)記為“ 左增右減 ” 函數(shù) 二次函數(shù) y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( 其中 a ， b ， c 為常數(shù) ， a ≠ 0 ) 最值 拋物線有最低點(diǎn) ， 當(dāng) x＝－b2 a時(shí) ， y 有最小值 ， y 最小值 ＝4 ac － b24 a 拋物線有最高點(diǎn) ， 當(dāng)x ＝－b2 a時(shí) ， y 有最大值 ， y 最大值 ＝4 ac － b24 a 溫馨提示 : ( 1 ) | a |的大小決定拋物線的開(kāi)口大小 ． | a |越大 ， 拋物線的開(kāi)口越?。?| a |越小 ， 拋物線的開(kāi)口越大 ． ( 2 ) 畫(huà)拋物線 y ＝ ax2＋ bx ＋ c的草圖 ， 要確定五點(diǎn)： ① 開(kāi)口方向； ② 對(duì)稱軸； ③ 頂點(diǎn)； ④ 與 y軸的交點(diǎn)； ⑤ 與 x 軸的交點(diǎn) ． 考點(diǎn)三 二次 函數(shù) y ＝ a x2＋ bx ＋ c 的圖象特征與 a ， b ， c 及b2－ 4 ac 的符號(hào)之間的關(guān)系 特殊值： 當(dāng) x ＝ 1 時(shí) ， y ＝ a ＋ b ＋ c ；當(dāng) x ＝－ 1 時(shí) ， y ＝ a － b ＋ c ． 若a ＋ b ＋ c ＞ 0 ， 即當(dāng) x ＝ 1 時(shí) ， y ＞ 0 ；若 a － b ＋ c ＞ 0 ， 即當(dāng) x ＝－ 1時(shí) ， y ＞ 0. 考點(diǎn)四 二次函數(shù)圖象的平移 任意拋物線 y ＝ a ( x － h )2＋ k 可以由拋物線 y ＝ ax2經(jīng)過(guò)平移得到 ， 具體平移方法如下： 溫馨提示 : 二次函數(shù)圖象間的平移可以看做是頂點(diǎn)間的平移 ， 因此只要掌握了頂點(diǎn)是如何平移的 ， 就掌握了二次函數(shù)圖象間的平移 ． 考點(diǎn)五 二次函數(shù)表達(dá)式的求法 1 ． 一般式法 若已知條件是圖象上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) ， 則設(shè)一般式 y ＝ ax2＋ bx＋ c ( a ≠ 0) ， 將已知條件代入 ， 求出 a ， b ， c 的值． 2 ． 頂點(diǎn)式法 若已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最大值 ( 最小值 ) ，則設(shè)頂點(diǎn)式 y ＝ a ( x － h )2＋ k ( a ≠ 0) ， 將已知條件代入 ， 求出待定系數(shù)的值 ， 最后將表達(dá)式化為一般式． 3 ． 交點(diǎn)式 法 若已知二次函數(shù)圖象與 x 軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo) ， 則設(shè)交點(diǎn)式 y ＝ a ( x － x1)( x － x2)( a ≠ 0) ， 將第三點(diǎn)的坐標(biāo)或其他已知條件代入 ，求出待定系數(shù) a 的值 ， 最后將表達(dá)式化為一般式． 溫馨提示 : 一般式、頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式是二次函數(shù)常見(jiàn)的表達(dá)式 ， 它們之間可以互相轉(zhuǎn)化．將頂點(diǎn)式、交點(diǎn)式去括號(hào)、合并同類(lèi)項(xiàng)就可以轉(zhuǎn)化為一般式；把一般式配方、因式分解就可以轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式、交 點(diǎn)式． 考點(diǎn)六 二次函數(shù)與一元二次方程 二次函數(shù) y ＝ ax2＋ bx ＋ c 與一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 有著密切的關(guān)系 ， 二次函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)對(duì)應(yīng)一元二次方程的實(shí)數(shù)根 ， 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)情況可由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式 b2－ 4 ac 的符號(hào)判定． 判別式情況 b2－ 4 ac ＞ 0 b2－ 4 ac ＝ 0 b2－ 4 ac ＜ 0 a ＞ 0 二次函數(shù) y＝ ax2＋ bx ＋c ( a ≠ 0) 與 x軸的交點(diǎn) a ＜ 0 一元二次方程 ax2＋ bx ＋ c ＝ 0 的實(shí)數(shù)根 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1， x2 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 x1＝ x2 沒(méi)有實(shí)數(shù)根 溫馨提示 : 解一元二次方程實(shí)質(zhì)上就是求當(dāng)二次函數(shù)值為 0 時(shí)的自變量x 的取值 ， 反映在函數(shù)圖象上就是求拋物線與 x 軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo) ． 考點(diǎn)七 二次函數(shù)的應(yīng)用 二次函數(shù)的應(yīng)用包括兩個(gè)方 面 ( 1 ) 用二次函數(shù)表示實(shí)際問(wèn)題變量之間的關(guān)系； ( 2 ) 用二次函數(shù)解決最大 ( 小 ) 化問(wèn)題 ( 即最值問(wèn)題 ) ， 用二次函數(shù)的性質(zhì)求解 ， 同時(shí)注意自變量的取值范圍． 典型考題展示 考點(diǎn)一 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ( 2 0 1 6 寧波 ) 已知函數(shù) y ＝ ax2－ 2 ax － 1 ( a 是常數(shù) ， a ≠ 0 ) ，下列結(jié)論正確的是 ( D ) A ． 當(dāng) a ＝ 1 時(shí) ， 函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn) ( － 1 ， 1 ) B ． 當(dāng) a ＝－ 2 時(shí) ， 函數(shù)圖象與 x 軸沒(méi)有交點(diǎn) C ． 若 a 0 ， 則當(dāng) x ≥ 1 時(shí) ， y 隨 x 的增大而減小 D ． 若 a 0 ， 則當(dāng) x ≤ 1 時(shí) ， y 隨 x 的增大而增大 【思路點(diǎn)撥】 先將二 次函數(shù)的表達(dá)式化為頂點(diǎn)式 ， 然后結(jié)合開(kāi)口方向逐一判斷即可 ． 【自主解答】 已知點(diǎn) ( x0， y0) 是二次函數(shù) y ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a 0 ) 圖象上的一個(gè)點(diǎn) ， 且 x0滿足關(guān)于 x 的方程 4 ax ＋ 2 b ＝ 0 ， 則下列選項(xiàng)正確的 是 ( A ) A ． 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 都有 y ≥ y0 B ． 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 都有 y ≤ y0 C ． 對(duì)于任 意實(shí)數(shù) x 都有 y y0 D ． 對(duì)于任意實(shí)數(shù) x 都有 y y0 考點(diǎn)二 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達(dá)式 ( 2 0 1 7 杭州 ) 在平面直角坐標(biāo) 系中，設(shè)二次函數(shù) y1＝ ( x ＋a )( x － a － 1) ， 其中 a ≠ 0. ( 1 ) 若函數(shù) y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1 ， － 2) ， 求函數(shù) y1的表達(dá)式； ( 2 ) 若一次函數(shù) y2＝ ax ＋ b 的圖象與 y1的圖象經(jīng)過(guò) x 軸上同一點(diǎn) ， 探究實(shí)數(shù) a ， b 滿足的關(guān)系式； ( 3 ) 已知點(diǎn) P ( x0， m ) 和點(diǎn) Q (1 ， n ) 在函數(shù) y1的圖象上 ， 若 m ＜n ， 求 x0的取值范圍． 【思路點(diǎn)撥】 ( 1 ) 將 (1 ， － 2) 代入函數(shù) y1， 求出 a 的值 ， 可得函數(shù)表達(dá)式； ( 2 ) 先求出 y1與 x 軸的交 點(diǎn) ， 然后分別將兩點(diǎn)代入 y2，即得 a ， b 滿足的關(guān)系式； ( 3 ) 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì) ， 可得答案 ． 【自主解答】 解： ( 1 ) 由函數(shù) y1的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (1 ， － 2) ， 得 ( a ＋ 1 ) ( － a ) ＝－ 2 ，解得 a1＝－ 2 ， a2＝ 1 ， ∴ 函數(shù) y1的表達(dá)式為 y1＝ ( x － 2 ) ( x ＋ 2 － 1) ，化簡(jiǎn) ， 得 y1＝ x2－ x － 2 ；或函數(shù) y1的表達(dá)式為 y1＝ ( x ＋ 1 ) ( x － 2) ，化簡(jiǎn) ， 得 y1＝ x2－ x － 2. 綜上所述 ， 函數(shù) y1的表達(dá)式為 y1＝ x2－ x－ 2. ( 2 ) 當(dāng) y ＝ 0 時(shí) ， 即 ( x ＋ a )( x － a － 1) ＝ 0 ， 解得 x1＝－ a ， x2＝ a＋ 1 ， ∴ y1與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ( － a ， 0 ) ， ( a ＋ 1 ， 0 ) ． 當(dāng) y2＝ ax ＋ b經(jīng)過(guò) ( － a ， 0 ) 時(shí) ， － a2＋ b ＝ 0 ， 即 b ＝ a2；當(dāng) y2＝ ax ＋ b 經(jīng)過(guò) ( a ＋ 1 ，0 ) 時(shí) ， a ( a ＋ 1) ＋ b ＝ 0 ， 即 b ＝－ a2－ a ． ( 3 ) 當(dāng) P 在對(duì)稱軸的左側(cè) ( 含頂點(diǎn) ) 時(shí) ， y 隨 x 的增大而減小 ， (1 ，n ) 與 (0 ， n ) 關(guān)于對(duì)稱 軸對(duì)稱 ， 由 m ＜ n ， 得 0 ≤ x0≤12；當(dāng) P 在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí) ， y 隨 x 的增大而增大 ， 由 m ＜ n ， 得12＜ x0＜ 1. 綜上所述 ， 若 m ＜ n ， 則 x0的取值范圍為 0 ＜ x0＜ 1. 已知拋物線 y1＝－ x2＋ mx ＋ n ， 直線 y2＝ kx ＋ b ，y1的對(duì)稱軸與 y2交于點(diǎn) A ( － 1 ， 5 ) ， 點(diǎn) A 與 y1的頂點(diǎn) B 的距離 是 4. ( 1) 求 y1的函數(shù)表達(dá)式； 解： ∵ 拋物線 y1＝－ x2＋ mx ＋ n ， 直線 y2＝ kx ＋ b ， y1的對(duì)稱軸與 y2交于點(diǎn) A ( － 1 ， 5 ) ， 點(diǎn) A 與 y1的頂點(diǎn) B 的距離是 4. ∴ B ( － 1 ，1 ) 或 ( － 1 ， 9 ) ， ∴ －m2 ( － 1 )＝－ 1 ，4 ( － 1 ) n － m24 ( － 1 )＝ 1 或 9 ， 解得m ＝－ 2 ， n ＝ 0 或 8 ， ∴ y1的函數(shù)表達(dá)式為 y1＝－ x2－ 2 x 或 y1＝ － x2－ 2 x ＋ 8. ( 2) 若 y2隨著 x 的增大而增大 ， 且 y1與 y2都經(jīng)過(guò) x 軸上的同一點(diǎn) ， 求 y2的函數(shù)表達(dá)式． 解： ① 當(dāng) y1的函數(shù)表達(dá)式為 y1＝－ x2－ 2 x 時(shí) ， 拋物線與 x 軸的交點(diǎn)是 (0 ， 0 ) 和 ( － 2 ， 0 ) ， ∵ y1的對(duì)稱軸與 y2交于點(diǎn) A ( － 1 ， 5 ) ，且 y2隨 x 的增大而增大 ， ∴ y1與 y2都經(jīng)過(guò) x 軸上的同一點(diǎn) ( － 2 ，0 ) ． 把 ( － 1 ， 5 ) ， ( － 2 ， 0 ) 代入 y2＝ kx ＋ b ， 得???－ k ＋ b ＝ 5 ，－ 2 k ＋ b ＝ 0 ，解得???k ＝ 5 ，b ＝ 10 ，∴ y2＝ 5 x ＋ 10. ② 當(dāng) y1＝－ x2－ 2 x ＋ 8 時(shí) ， 解－ x2－ 2 x ＋ 8 ＝ 0 得 x ＝－ 4 或 2.∵ y2隨著 x 的增大而增大 ， 且過(guò)點(diǎn) A ( － 1 ， 5 ) ， ∴ y1與 y2都經(jīng)過(guò) x軸上的同一點(diǎn) ( － 4 ， 0 ) ， 把 ( － 1 ， 5 ) ， ( － 4 ， 0 ) 代入 y2＝ kx ＋ b 得????? － k ＋ b ＝ 5 ，－ 4 k ＋ b ＝ 0 ，解得??? k ＝53，b ＝203