【正文】 ＝1(27λ36)，再將點 A(177。 15， 4)代入求 λ，進而求方程，不過這種解題方法有一定的技巧性 ． 知識點三 雙曲線在實際中的應(yīng)用 A、 B、 C 是我方三個炮兵陣地 ， A 在 B 正東 6 km， C 在 B 的北偏西 30176。相距 4 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點及典型例題分析 專心做教育 5 km， P 為敵炮陣地 ， 某時刻 A 處發(fā)現(xiàn)敵炮陣地的某種信號 ， 由于 B、 C 兩地比 A 距 P 地遠 ，因此 4 s 后 ， B、 C 才同時發(fā)現(xiàn)這一信號 ， 此信號的傳播速度為 1 km/s， A 若炮擊 P 地 ， 求炮擊的方位角 ． 解 以直線 BA 為 x 軸，線段 BA 的中垂線為 y 軸 建立平面直角坐標系， 則 B(－ 3,0)， A(3,0)， C(－ 5,2 3) ∵ |PB|＝ |PC|， ∴ 點 P 在線段 BC的垂直平分線上 ∵ kBC＝－ 3， BC中點 D(－ 4， 3) ∴ 直線 PD： y－ 3＝ 13(x＋ 4)① 又 |PB|－ |PA|＝ 4， ∴ P 在以 A、 B 為焦點的雙曲線右支上 設(shè) P(x， y)則雙曲線方程為 x24－y25＝ 1(x＞ 0)② 聯(lián)立 ① 、 ② 式得 x＝ 8， y＝ 5 3， ∴ P(8,5 3)，因此 kPA＝ 5 38－ 3＝ 3. 故炮擊的方位角為北偏東 30176。. 知識點四 雙曲線幾何性質(zhì)的簡單應(yīng)用 已知雙曲線漸近線的方程為 2x177。3 y＝ 0. (1)若雙曲線經(jīng)過 P( 6， 2)， 求雙曲線方程 ； (2)若雙曲線的焦距是 2 13， 求雙曲線方程 ； (3)若雙曲線頂點間的 距離是 6， 求雙曲線方程 ． 解 (1)設(shè)雙曲線的方程為 4x2－ 9y2＝ λ(λ≠ 0)， ∵ 雙曲線過點 P( 6， 2)， ∴ 4 6－ 9 4＝ λ，即 λ＝－ 12 ∴ 雙曲線的方程為：－ x23＋34y2＝ 1. (2)設(shè)雙曲線方程為 x2a2－y2b2＝ 1，或y2a2－x2b2＝ 1(a0， b0)． ∵ c2＝ a2＋ b2， ∴ 13＝ a2＋ b2. 由漸近線斜率得 ba＝ 23，或 ab＝ 23， 故由????? ba＝23，a2＋ b2＝ 13，或????? ab＝23，a2＋ b2＝ 13. 解得????? a2＝ 9，b2＝ 4， 或 ????? a2＝ 4，b2＝ 9. ∴ 所求雙曲線方程為 x29－y24＝ 1，或y24－x29＝ 1. (3)由 (2)所設(shè)方程可得： ????? ba＝23，2a＝ 6.或????? ab＝23，2a＝ 6.解得????? a＝ 3，b＝ 2， 或 ????? a＝ 3，b＝ 92. 故所求雙曲線方程為 x29－y24＝ 1，或y29－4x281＝ 1. 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點及典型例題分析 專心做教育 6 知識點五 求雙曲線的離心率 (1)已知雙曲線的漸近線方程為 y＝ 177。34x， 則雙曲線的離心率為 ________； (2)設(shè)雙曲線 x2a2－y2b2＝ 1(ba0)的半焦距為 c， 直線 l 過 (a,0)、 (0， b)兩點 ． 已知原點到直線 l 的距離為 34 c， 則雙曲線的離心率為 ________． 解析 (1)當焦點在 x 軸上時，其漸近線方程為 y＝ 177。bax，依題意， ba＝ 34， e2＝ c2a2＝a2＋ b2a2 ＝1＋ 916＝ 2516， ∴ e＝ 54； 當焦點在 y 軸上時，其漸近線方程為 y＝ 177。abx， 依題意 ab＝ 34， e2＝ c2a2＝a2＋ b2a2 ＝ 1＋169 ＝259 ， ∴ e＝ 53. (2)直線 l 的方程為 xa＋ yb＝ 1，即 bx＋ ay－ ab＝ 0. 于是有 |b0 ＋ a0 － ab|a2＋ b2＝ 34 c，即 ab＝ 34 c2. 兩邊平方得 16a2b2＝ 3c4， ∴ 16a2(c2－ a2)＝ 3c4. 即 3c4－ 16a2c2＋ 16a4＝ 0， ∴ 3e4－ 16e2＋ 16＝ 0. 解得 e2＝ 4，或 e2＝ 43， ∵ ba0， ∴ b2a21， ∴ e2＝ a2＋ b2a2 ＝ 1＋b2a22，故 e2＝ 4， ∴ e＝ 2. 答案 (1)53或 54 (2)2 知識點六 直線與雙曲線 直線 l 在雙曲線 x23－y22＝ 1 上截得的弦長為 4， 其斜率為 2， 求直線 l 在 y 軸上的截距 m. 解 設(shè)直線 l 的方程為 y＝ 2x＋ m， 由????? y＝ 2x＋ m，x23－y22＝ 1， 得 10x2＋ 12mx＋ 3(m2＋ 2)＝ 0. 設(shè)直線 l 與雙曲線交于 A(x1， y1)， B(x2， y2)兩點， 由韋達定理，得 x1＋ x2＝－ 65m， x1x2＝ 310(m2＋ 2)． 又 y1＝ 2x1＋ m， y2＝ 2x2＋ m， ∴ y1－ y2＝ 2(x1－ x2)， ∴ |AB|2＝ (x1－ x2)2＋ (y1－ y2)2 ＝ 5(x1－ x2)2 ＝ 5[(x1＋ x2)2－ 4x1x2] 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點及典型例題分析 專心做教育 7 ＝ 5[3625m2－ 4 310(m2＋ 2)]． ∵ |AB|＝ 4， ∴ 365 m2－ 6(m2＋ 2)＝ 16. ∴ 3m2＝ 70， m＝ 177。 2103 . ∴ 直線 l 在 y 軸上的截距為 177。 2103 . 考題賞析 1． (全國 Ⅱ 高考 )設(shè) a1， 則雙曲線 x2a2－y2(a＋ 1)2＝ 1 的離心率 e 的取值范圍是 ( ) A． ( 2， 2) B． ( 2， 5) C． (2,5) D． (2， 5) 解析 ∵ 雙曲線方程為 x2a2－y2(a＋ 1)2＝ 1， ∴ c＝ 2a2＋ 2a＋ 1. ∴ e＝ ca＝ 2＋ 1a2＋ 2a＝ ?? ??1a＋ 1 2＋ 1. 又 ∵ a1， ∴ 01a1.∴ 11a＋ 12. ∴ 1?? ??1＋ 1a 24.∴ 2e 5. 答案 B 2． (重慶 高考 )已知雙曲線 x2a2－y2b2＝ 1 (a0， b0)的一條漸近線為 y＝ kx (k0)， 離心率 e＝5k， 則雙曲線方程為 ( ) 2a2－y24a2＝ 1 B.x2a2－y25a2＝ 1 C. x24b2－y2b2＝ 1 D.x25b2－y2b2＝ 1 解析 雙曲線的漸近線方程可表示為 y＝ 177。bax，由已知可得 k＝ e＝ 1＋ ?? ??ba 2＝ 5k，所以 k＝ 12. 即 ba＝ 12，故 a＝ 2b. 答案 C 3． (湖北高考 ) 如圖所示，在以點 O 圓心， |AB|=4 為直徑的半圓 ADB 中， OD⊥ AB， P 是半圓弧上一點，∠ POB=30176。 .曲線 C 是滿足 ||MA| ? |MB||為定值的動點 M 的軌跡，且曲線 C 過點 P. (1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求曲線 C 的方程； (2)設(shè)過點 D 的直線 l 與曲線 C 相交于不同的兩點 E、 △ OEF 的面積不小于 2 2 ，求直線 l 斜率的取值范圍． 解 (1)方法一 以 O 為原點 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點及典型例題分析 專心做教育 8 ， AB、 OD 所在直線分別為 x 軸、 y 軸，建立平面直角坐標系， 則 A(2,0)， B(2,0)， P( 3 ,1)， 依題意得 ||MA||MB|| =|PA |? |PB| = 2 2 2 2( 2 3 ) 1 ( 2 3 ) 1 2 2? ? ? ? ? ? |AB|=4. ∴曲線 C 是以原點為中心， A、 B 為焦點的雙曲線． 設(shè)實半軸長為 a， 虛半軸長為 b，半焦距為 c， 則 c=2,2a=2 2 ，∴ a2=2， b2 = c2 ? a2=2. ∴曲線 C 的方程為 22122xy??. 方法二 同方法一建立平面直角坐標系，則依題意可得 ||MA|? |MB||=|PA|? |PB||AB|=4. ∴曲線 C 是以原點為中心， A、 B 為焦 點的雙曲線． 設(shè)雙曲線的方程為 221xyab?? (a0， b0)， 則由222222( 3) 1 1,4,abab? ???????? 解得 a2 = b2 = 2， ∴曲線 C 的方程為 22122xy?? (2)方法一 依題意，可設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+2，代入雙曲線 C 的方程并整理得(1? k2)x24kx? 6=0.① ∵ 直線 l 與雙曲線 C 相交于不同的兩點 E、 F， ∴????? 1－ k2≠ 0，Δ＝ (－ 4k)2＋ 4 6(1－ k2)0， ? ??? k≠ 177。1，－ 3k 3. ∴ k∈ (－ 3，－ 1)∪ (－ 1,1)∪ (1， 3)． ② 設(shè) E(x1， y1)， F(x2， y2)，則由 ① 式得 x1＋ x2＝ 4k1－ k2， x1x2＝－ 61－ k2， 于是 |EF|＝ (x1－ x2)2＋ (y1－ y2)2 ＝ (1＋ k2)(x1－ x2)2＝ 1＋ k2 (x1＋ x2)2－ 4x1x2 ＝ 1＋ k22 2 3－ k2|1－ k2| . 而原點 O 到直線 l 的距離 d＝ 21＋ k2， ∴ S△ OEF＝ 12d| EF| ＝ 12 21＋ k2 1＋ k22 2 3－ k2|1－ k2| ＝2 2 3－ k2|1－ k2| . 若 △ OEF 的面積不小于 2 2，即 S△ OEF≥ 2 2， 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點及典型例題分析 專心做教育 9 則有 2 2 3－ k2|1－ k2| ≥ 2 2? k4－ k2－ 2≤ 0， 解得－ 2≤ k≤ 2.③ 綜合 ② 、 ③ 知，直線 l 的斜率的取值范圍為 [－ 2，－ 1)∪ (－ 1,1)∪ (1， 2]． 方法二 依題意，可設(shè)直線 l 的方程 為 y＝ kx＋ 2， 代入雙曲線 C 的方程并整理， 得 (1－ k2)x2－ 4kx－ 6＝ 0.① ∵ 直線 l 與雙曲線 C 相交于不同的兩點 E、 F， ∴????? 1－ k2≠ 0，Δ＝ (－ 4k)2＋ 4 6(1－ k2)0， ? ??? k≠ 177。1，－ 3k 3. ∴ k∈ (－ 3，－ 1)∪ (－ 1,1)∪ (1， 3)． ② 設(shè) E(x1， y1)， F(x2， y2)，則由 ① 式得 |x1－ x2|＝ (x1＋ x2)2－ 4x1x2＝ Δ|1－ k2| ＝ 2 2 3－ k2|1－ k2| ， ③ 當 E， F 在同一支上時 (如圖 (1)所示 )， S△ OEF＝ |S△ ODF－ S△ ODE|＝ 12|OD|(||x1|－ |x2||) ＝ 12|OD||x1－ x2|； 當 E， F 在不 同支上時 (如圖 (2)所示 )， S△ OEF＝ S△ ODF＋ S△ ODE＝ 12|OD|(|x1|＋ |x2|) ＝ 12|OD||x1－ x2|. 綜上得 S△ OEF＝ 12|OD||x1－ x2|. 于是由 |OD|＝ 2 及 ③ 式，得 S△ OEF＝ 2 2 3－ k2|1－ k2| . 若 △ OEF 面積不小于 2 2，即 S△ OEF≥ 2 2，則有 2 2 3－ k2|1－ k2| ≥ 2 2? k4－ k2－ 2≤ 0，解得－ 2≤ k≤ 2.④ 綜合 ② 、 ④ 知，直線 l 的斜率的取值范圍為 [－ 2，－ 1)∪ (－ 1,1)∪ (1， 2] . 雙曲線之經(jīng)典總結(jié)和高考考點及典型例題分析 專心做教育 10 1． 實軸長為 4 5且過點 A(2，－ 5)的雙曲線的標準方程是 ( ) A. x220－y216＝ 1 B.y220－x216＝ 1 216－y220＝ 1 D.y21