【正文】 。 設(shè)為任意實(shí)數(shù)，證明：證明：設(shè)，則所以即，得證.． 已知在連續(xù)，對(duì)任意都有證明：證明：在連續(xù),則，又所以． 設(shè)為大于的正整數(shù)，證明：.證明：即若，則于是這與推論矛盾，所以若，則于是這與推論矛盾，所以綜上所述，有.． 設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)減少，證明：對(duì)于滿足的任何，有證明：由積分中值定律有又，且單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，所以即． 設(shè)在上二階可導(dǎo)，且證明：證明：由泰勒公式有又，則兩邊積分可得．設(shè)在上連續(xù)，且單調(diào)不增，證明：任給，有證明：，所以又，單調(diào)不增，當(dāng)時(shí)，所以．設(shè)在上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：在內(nèi)存在一點(diǎn)，使證明：由泰勒公式有，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，設(shè)最大值為，最小值為，即則即，由介值定理可得，至少存在一點(diǎn)，使得即，得證.．設(shè)連續(xù)，證明：證明：設(shè)，則．設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)存在且可積，證明：證明: 由，可得，其中即．設(shè)在上連續(xù)，且，則證明：令，則兩邊積分得令，消除后得即．設(shè)函數(shù)在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：證明：由柯西不等式有．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，且，證明：，使證明：因?yàn)樵谏线B續(xù)，則必存在一點(diǎn)，使得，即，即習(xí)題五. 設(shè)函數(shù)在在閉區(qū)間上可微，對(duì)于每一個(gè)，函數(shù)的值都在開(kāi)區(qū)間內(nèi)，且，證明：在內(nèi)有且僅有一個(gè)。矚慫潤(rùn)厲釤瘞睞櫪廡賴賃。證明：設(shè)，則在上連續(xù)，又，所以，由零值定理可知，在內(nèi)至少存在一個(gè)，使，即.利用反證法證明在內(nèi)至多有一個(gè)零點(diǎn).設(shè)且使得，則由拉格朗日中值定理可得，至少存在一個(gè)，使得這與題設(shè)矛盾，綜上所述，命題得證.．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：在內(nèi)一個(gè)，使.證明：由積分中值定理，可知在上存在一點(diǎn)，使，從而有.于是由洛爾定理可知，在內(nèi)存在一個(gè)，使，．設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，又，證明：在內(nèi)至少一個(gè)，使.證明：由題意可得，根據(jù)洛爾定理可得至少存在，使得.又當(dāng)時(shí)，.再對(duì)在上應(yīng)用洛爾定理，可得至少存在一個(gè)，使得，命題得證.．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：在內(nèi)一個(gè)，使.證明：設(shè)，在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則在滿足柯西定理，于是有，使即所以．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，證明：一個(gè)，使證明：設(shè)，則在上滿足拉格朗日中值定理，于是有使即所以．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：一個(gè)，使證明：設(shè)則在上滿足洛爾定理，于是存在，使，即．設(shè)函數(shù)在上有二階導(dǎo)數(shù)，且，證明：至少一個(gè)使證明：設(shè)，則，由洛爾定理可得，存在，使得,又則在上，由洛爾定理可得，存在，使得,即．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，證明：在內(nèi)至少一個(gè)，使證明：設(shè)，則在內(nèi)，由柯西中值定理可得，至少存在一個(gè)，使得即所以．若，證明：一個(gè)或，使證明：設(shè)，則在上，由柯西中值定理可得，存在一個(gè)，使得即化簡(jiǎn)可得．函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少一個(gè)，使.證明：設(shè)，由，可得由洛爾定理可得，至少存在一個(gè)，使得即．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：至少一個(gè)使證明：設(shè)，則，由洛爾定理可得，至少存在一個(gè)，使得，即．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，證明：至少一個(gè)使證明：在處的泰勒展開(kāi)式為兩式相加得又在內(nèi)有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，所以存在，使得，所以.．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：在,使證明：設(shè)，由柯西中值定理，在內(nèi)至少存在，使得即對(duì)于，由拉格朗日中值定理可得，存在，使得從而．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：使得證明：設(shè)，由柯西中值定理可得，至少存在，使得，即設(shè)，由拉格朗日中值定理可得，存在，使得從而，即．設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：，使得證明：設(shè)，由柯西中值定理可得，對(duì)于，存在，使對(duì)于，由拉格朗日中值定理可得，存在，使得由兩式可得習(xí)題六一．求解下列微分方程.⑴[解答] 令，則原微分方程可變化為解其對(duì)應(yīng)的齊次方程，可得令為原方程的解，代入方程有，解得，所以故原方程的解為⑵[解答] 原方程可變換為解得，即，又，則，故二．求解下列微分方程.⑴[解答] 令，則，原方程可變換為即，解得，將代入可得⑵[解答] 設(shè)，將方程右端同除后可變換為解得即由可得，故所求方程為三．求解下列微分方程.⑴[解答] 令，又，則原方程式可變換為解其對(duì)應(yīng)的齊次方程，可得令為原方程的解，代入方程有解得所以⑵[解答] 方程可變換為其對(duì)應(yīng)其次方程可解為，積分可得，即，齊次方程的通解為令，代入原式中有，積分可解得故原方程的通解為⑶[解答] 設(shè)，則，所以原式可變換為由貝努利方程，設(shè)，則方程變換為其對(duì)應(yīng)的齊次方程的解為，令，代入原方程中可解得所以，即五．求解下列微分方程⑴[解答] 原式可變換為，即設(shè)，則原方程可變換為其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為令為原方程的解，代入原式中有，可解得故⑵[解答] 原式可變換為由貝努利方程，設(shè)，則原式可變換為其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為令為原方程的解，代入可得解得所以六．函數(shù)在實(shí)軸上連續(xù)，存在，且具有性質(zhì)，試求出.[解答] 在實(shí)軸上連續(xù)，設(shè)，則可得又存在，則對(duì)任意，有即處處可微且滿足解得又故八．求解下列方程⑴[解答] 原式可變換為，即令，則又變換為，即解此方程可得又，則，所以⑵[解答] 令，則，則原式可變換為解此方程可得，即又，則，所以九．求解下列方程⑴[解答] 令，則原方程可變換為即，積分可得即解得⑵[解答] 令，則原方程可變換為解得，又，可得所以，則，又，可得故⑶[解答] 令，則原方程可變換為令，則原方程又可變換為解此方程可得，當(dāng)時(shí)，可得則，又，可得所以十二．求解下列微分方程.⑴[解答] 令，即，則原方程可變化為即相應(yīng)特征方程為齊次方程通解特解所以原式的通解為⑵[解答] 令，即，則原方程可變化為即相應(yīng)特征方程為 齊次方程通解特解所以原式通解為五．一質(zhì)量為的物體，在粘性液體中由靜止自由下落，假如液體阻力與運(yùn)動(dòng)速度成正比，試求物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律. [解答] 物體受到的重力為，阻力為，則，其中，則方程式變?yōu)榱?，則方程式變化為解其對(duì)應(yīng)的齊次方程，可得令為原方程的解，代入方程有，解得，所以，又，則，又，則所以十六．有一盛滿水的圓錐形漏斗，高，頂角，漏斗尖處有面積為㎡的小孔，求水流出時(shí)漏斗內(nèi)水深的變化規(guī)律。聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛(ài)氌譴凈禍。[解答] 從時(shí)刻到小孔流出的水量為在此時(shí)間內(nèi)，液面由降至，水量減少為由題意可知，則，且當(dāng)時(shí)，㎝.所以方程為當(dāng)水全部流出時(shí)，.十七．設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的曲線族上任一點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn)，從點(diǎn)向軸作垂線，其垂足為，已知與軸所圍成的三角形的面積與曲邊三角形的面積之比等于常數(shù)。殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟婭。[解答] 為曲線上一點(diǎn)，則切線的方程為，坐標(biāo)為,由題意可知三角形的面積為曲邊三角形的面積為又，則，對(duì)方程兩邊求導(dǎo)可得化簡(jiǎn)可得令，代入方程可得解得，即又，則解得，即.十八．有一房間容積為，開(kāi)始時(shí)房間空氣中含有二氧化碳，為了改善房間的空氣質(zhì)量，用一臺(tái)風(fēng)量為分的排風(fēng)扇通入含的二氧化碳的新鮮空氣，同時(shí)以相同的風(fēng)量將混合均勻的空氣排出，求排出分鐘后，房間中二氧化碳含量的百分比？釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐顧。[解答] 設(shè)在時(shí)刻，的含量為，則在時(shí)間內(nèi)進(jìn)入房間的的含量為，排出房間的的含量為所以在內(nèi)的改變量為化簡(jiǎn)得解得又則，即所以當(dāng)時(shí)，即的含量為. 習(xí)題七．填空題⑴函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間[解答] ，令，可得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.所以的單調(diào)遞減區(qū)間是或.⑵曲線與其在處的切線所圍成的部分被軸分成兩部分，這兩部分面積之比是 [解答] 直線方程為，即，兩直線的交點(diǎn)可求得，即求解方法一：已知其一根為，設(shè)方程為通過(guò)比較可得，可解得另外一根為方法二：分解方程有即所以則⑶設(shè)在上連續(xù)，當(dāng)＿時(shí)，取最小值.[解答] 令，則即所以⑷繞旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積[解答] 令，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以⑸求心臟線和直線及圍成的圖形繞極軸旋轉(zhuǎn)所成旋轉(zhuǎn)體體積[解答] 將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)形式為，則所以．計(jì)算題⑴在直線與拋物線的交點(diǎn)上引拋物線的法線，求由兩法線及連接兩交點(diǎn)的弦所圍成的三角形的面積.[解答] 由題意可計(jì)算兩法線的方程為，即，即兩直線的交點(diǎn)為，則⑵過(guò)拋物線上的一點(diǎn)作切線，問(wèn)為何值時(shí)所作的切線與拋物線所圍成的面積最小.[解答] 直線的斜率，則直