【正文】 in ( )44xxxx??????（答： 1cos22 x ） (6)常值變換主要指“ 1”的變換 （ 221 sin cosxx?? 22sec t a n t a n c otx x x x? ? ? ? ta n sin42??? ? ?等 ）， 如 已知 tan 2?? ，求 si n si n c os 3 c os? ? ? ???（答： 35 ） . (7)正余弦“三兄妹 — si n c os si n c osx x x x? 、 ” 的內(nèi)存聯(lián)系 ―― “知一求二”， 5 如（ 1） 若 sin cosx x t??，則 sin cosxx? __（ 答： 2 12t ?? )， 特別提醒 ：這里[ 2, 2]t?? ； （ 2） 若 1( 0 , ) , sin c o s 2? ? ? ?? ? ?， 求 tan? 的值。（答： 473?? ）； （ 3） 已知 2sin 2 2 sin1 ta n k???? ?? ()42????? ，試用 k 表示 sin cos??? 的值 （答：1 k? ） 。 1 輔助角公式中輔助角的確定 ： ? ?22sin c o s sina x b x a b x ?? ? ? ?(其中 ? 角所在的象限由 a, b的符號(hào)確定， ? 角的值由 tan ba?? 確定 )在求最值、化簡(jiǎn)時(shí)起著重要作用。如（ 1） 若方程 si n 3 cosx x c??有實(shí)數(shù)解，則 c 的取值范圍是 ___________.（ 答： [－ 2,2]）；（ 2） 當(dāng)函數(shù) 23y cos x sin x??取得最大值時(shí)， tanx 的值是 ______(答： 32? )； （ 3） 如果 ? ? ? ?sin 2 c os ( )f x x x??? ? ? ?是奇函數(shù)，則 tan? = (答：－ 2)； （ 4） 求值： ?????? 20s i n6420c os 120s i n 3 222________(答： 32) 1正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的圖象 ：正弦函數(shù) sinyx? 和余弦函數(shù) cosyx? 圖象的作圖方法：五點(diǎn)法：先取橫坐標(biāo)分別為 0， 3, , ,222??的五點(diǎn)，再用光滑的曲線把這五點(diǎn)連接起來，就得到正弦曲線和余弦曲線在一個(gè)周期內(nèi)的圖象。 1正弦函數(shù) sin ( )y x x R??、余弦函數(shù) cos ( )y x x R??的性質(zhì) ： （ 1）定義域 ：都是 R。 （ 2）值域 ：都是 ? ?1,1? ，對(duì) sinyx? ，當(dāng) ? ?2 2x k k Z??? ? ?時(shí)， y 取最大值 1；當(dāng)? ?32 2x k k Z??? ? ?時(shí)， y 取最小值－ 1；對(duì) cosyx? ，當(dāng) ? ?2x k k Z???時(shí)， y 取最大值 1，當(dāng) ? ?2x k k Z??? ? ?時(shí)， y 取最小值－ 1。 如（ 1） 若函數(shù) si n (3 )6y a b x ?? ? ?的最大值為 23 ，最小值為 21? ，則 ?a __， ?b ＿（答： 1,12ab??或 1b?? ）； （ 2） 函數(shù) xxxf c o s3s in)( ?? （ ]2,2[ ????x ）的值域是 ____（答： [－ 1, 2]）；（ 3） 若 2? ? ??? ， 則 6y cos sin????的最大值和最小值分別是 __（答： 7；－ 5）； （ 4） 函數(shù) 2( ) 2 c o s si n ( ) 3 si n3f x x x x?? ? ?sin cosxx? 的最小值是 _____，此時(shí) x＝ __________（答： 2； ()12k k Z?? ??）； （ 5） 己知 21cossin ??? ，求 ?? cossin?t 的變化范圍（答： 1[0, ]2 ）； （ 6） 若 ??? c o s2s in2s in 22 ?? ，求 ?22 sinsin ??y 的最大、最小值（答： 6 1max?y ， 222min ??y ）。 特別提醒 ：在解含有正余弦函數(shù)的問題時(shí)，你深入挖掘正余弦函數(shù)的有界性了嗎？ （ 3）周期性 ： ① sinyx? 、 cosyx? 的最小正周期都是 2? ； ② ( ) si n( )f x A x????和 ( ) c os ( )f x A x????的最小正周期都是 2||T ???。 如 (1)若 3sin)( xxf ?? ，則 (1 ) ( 2) ( 3 ) ( 2022 )f f f f? ? ? ?＝ ___（答： 0）； (2) 函數(shù) 4( ) cosf x x? 2sin cosxx? 4sin x? 的最小正周期為 ____（答： ? ）； (3) 設(shè)函數(shù) )52sin(2)( ?? ?? xxf ，若對(duì)任意 Rx? 都有 )()()( 21 xfxfxf ?? 成立，則 || 21 xx ? 的最小值為 ____（答： 2） （ 4）奇偶性與對(duì)稱性 ：正弦函數(shù) sin ( )y x x R??是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是 ? ?? ?,0k k Z? ? ，對(duì)稱軸是直線 ? ?2x k k Z??? ? ?；余弦函數(shù) cos ( )y x x R??是偶函數(shù)，對(duì)稱中心是? ?,02k k Z??????????，對(duì)稱軸是直線 ? ?x k k Z???（正 (余 )弦型函數(shù)的對(duì)稱軸為過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且垂直于 x 軸的直線，對(duì)稱中心為圖象與 x 軸的交點(diǎn)）。 如（ 1） 函數(shù)5 22y sin x?????????的奇偶性是 ______ （ 答 ： 偶 函 數(shù) ）； （ 2 ） 已 知 函 數(shù)3 1f ( x ) ax b si n x ( a ,b? ? ?為常數(shù)），且 57f( )? ，則 5f( )??______（答：－ 5）； （ 3）函數(shù) )c o s( s i nc o s2 xxxy ?? 的圖象的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸分別是 __________ 、____________ （ 答 ： 128k( , )( k Z )????、 28kx ( k Z )??? ? ?）； （ 4 ） 已知3f ( x ) si n( x ) c os( x )??? ? ? ?為偶函數(shù)，求 ? 的值。（答： 6k ( k Z )???? ? ?） （ 5 ） 單 調(diào) 性 ： ? ?s in 2 , 222y x k k k Z??????? ? ? ?????在上單調(diào)遞增，在? ?32 , 222k k k Z??????? ? ?????單調(diào)遞減； cosyx? 在 ? ?? ?2 , 2k k k Z? ? ???上單調(diào)遞減，在 ? ?? ?2 , 2 2k k k Z? ? ? ?? ? ?上單調(diào)遞增。 特別提醒 ，別忘了 kZ? ！ 1形如 sin( )y A x????的函數(shù)： （ 1）幾個(gè)物理量 ： A―振幅； 1f T? ―頻率（周期的倒數(shù)）； x??? ―相位； ? ―初相； （ 2）函數(shù) sin( )y A x????表達(dá)式的確定 ： A由最值確定； ?由 周 期 確 定 ； ? 由 圖 象 上 的 特 殊 點(diǎn) 確 定 ， 如( ) si n( ) ( 0 , 0f x A x A? ? ?? ? ? ?， | | )2??? 的圖象如圖所示，則()fx＝ _____（答： 15( ) 2 sin ( )23f x x ???）； （ 3）函數(shù) sin( )y A x????圖象的畫法 ： ① “五點(diǎn)法 ”――設(shè) Xx????，令 X ＝23題圖2?9YX223 7 0， 3, , ,222??求出相應(yīng)的 x 值，計(jì)算得出五點(diǎn)的坐標(biāo)，描點(diǎn)后得出圖象； ② 圖象變換法：這是作函數(shù)簡(jiǎn)圖常用方法。 （ 4）函數(shù) si n( )y A x k??? ? ?的圖象與 sinyx? 圖象間的關(guān)系 ： ① 函數(shù) sinyx? 的圖象縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)向左（ ? 0）或向右 （ ? 0）平移 ||? 個(gè)單位得 ? ?sinyx???的圖象； ② 函數(shù) ? ?sinyx???圖象的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?1? ，得到函數(shù)? ?sinyx????的圖象； ③函數(shù) ? ?sinyx????圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?A倍，得到函數(shù) sin( )y A x????的圖象； ④函數(shù) sin( )y A x????圖象的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)向上（ 0k? ）或向下 （ 0k? ），得到 ? ?si ny A x k??? ? ?的圖象。要 特別注意 ，若由 ? ?sinyx?? 得到 ? ?sinyx????的圖象，則向左或向右平移應(yīng)平移 ||?? 個(gè)單位， 如（ 1） 函數(shù) 2 si n (2 ) 14yx?? ? ?的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到 sinyx? 的圖象？（答： 2 si n (2 ) 14yx?? ? ?向上平移 1個(gè)單位得 2 sin(2 )4yx???的圖象，再向左平移 8?個(gè)單位得 2sin2yx? 的圖象，橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的 2 倍得 2sinyx? 的圖象，最后將縱坐標(biāo)縮小到原來的 12 即得 sinyx? 的圖象）； (2) 要得到函數(shù) cos( )24xy ???的圖象，只需把函數(shù) sin2xy? 的圖象向 ___平移 ____個(gè)單位（答：左； 2? ）； （ 3） 將函數(shù) 72 sin (2 ) 13yx?? ? ?圖像，按向量 a 平移后得到的函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，這樣的向量是否唯一？若唯一，求出 a ；若不唯一，求出模最小的向量（答：存在但不唯一，模最小的向量 ( , 1)6a ?? ? ? ）； （ 4） 若函數(shù) ? ? ? ?? ?c o s sin 0 , 2f x x x x ?? ? ?的圖象與直線 yk? 有且僅有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則 k 的 取值范圍是 （答： [1, 2) ） （ 5）研究函數(shù) sin( )y A x????性質(zhì)的方法：類比于研究 sinyx? 的性質(zhì) ，只需將sin( )y A x????中的 x??? 看成 sinyx? 中的 x ，但在 求 sin( )y A x????的單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意 A和 ? 的符號(hào)，通過誘導(dǎo)公式先將 ? 化正。 如（ 1） 函數(shù) 2 3y sin( x )?? ? ? 的遞減區(qū)間是 ____（答 51 2 1 2[ k ,k ] ( k Z )?? ? ?? ? ?）； （ 2）12 34xy lo g cos( )???的遞減區(qū)間是 _____（答： 336644[ k , k ] ( k Z )?? ? ?? ? ?）； （ 3） 設(shè)函數(shù) )22,0,0)(s i n()( ?????? ??????? AxAxf 的圖象關(guān)于直線 32??x 對(duì)稱，它的周期是 ? ，則 A、 )21,0()( 的圖象過點(diǎn)xf B、 ()fx在區(qū)間 52[ , ]12 3??上是減函數(shù) C、 )0,125()( ?是的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心xf D、 ()fx的最大值是 A（答： C）； 8 （ 4） 對(duì)于函數(shù) ? ? 2 s in 23f x x ?????????給出下列結(jié)論：①圖象 關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱；②圖象關(guān)于直線 12x ?? 成軸對(duì)稱；③圖象可由函數(shù) 2sin2yx? 的圖像向左平移 3? 個(gè)單位得到；④圖像向左平移 12? 個(gè)單位，即得到函數(shù) 2cos2yx? 的圖像。其中正確結(jié)論是 _______（答：②④）； （ 5） 已知函數(shù) ( ) 2 si n( )f x x????圖象與直線 1y? 的交點(diǎn)中，距離最近兩點(diǎn)間的距離為 3? ，那么此函數(shù)的周期是 _______（答： ? ） 1 正切函數(shù) tanyx? 的圖象和性質(zhì) ： （ 1）定義域： { | , }2x x k k Z? ?? ? ?。遇到有關(guān)正切函數(shù)問題時(shí)，你注意到正切函數(shù)的定義域了嗎？ （ 2）值域是 R，在上面定義域上無最大值也無最小值； （ 3）周期性：是周期函數(shù)且周期 是 ? ，它與直線 ya? 的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的距離是一個(gè)周期 ? 。 絕對(duì)值或平方對(duì)三角函數(shù)周期性的影響 ： 一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對(duì)值或平方，其周期性是： 弦減半、切不變 ．既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對(duì)值，其周期性不變，其它不定。 如 xyxy sin,sin 2 ?? 的周期都是 ? , 但 sinyx? cosx? 的周期為 2? ，而 1| 2 s in ( 3 ) |, | 2 s in ( 3 ) 2 |6 2 6y x y x??? ? ? ? ? ?， |tan |yx? 的周期不變； （ 4）奇偶性與對(duì)稱性：是奇函數(shù)，對(duì)稱中心是 ,02k???????? ?kZ?， 特別提醒 ：正 (余 )切型函數(shù)的對(duì)稱中心有兩類：一類是圖象與 x 軸的交點(diǎn)，另一 類是漸近線與 x 軸的交點(diǎn)，但無對(duì)稱軸，這是與正弦、余弦函數(shù)的不同之處。 （ 5）單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間 ? ?,22k k k Z??????? ? ? ?????內(nèi)都是增函數(shù)。但 要注意在整個(gè)定義域上不具有單調(diào)性 。如下圖： 18. 三角形中的有關(guān)公式： (1)內(nèi)角和定理 ：三角形三角和為 ? ， 這是三角形中三角函數(shù)問題的特殊性，解題可不能忘記！ 任意兩角和 與第三個(gè)角總互補(bǔ)， 任意兩半角和 與第三個(gè)角的 半角總互余 .銳角三角形 ? 三內(nèi)角都是銳角 ? 三內(nèi)角的余弦值為正值 ? 任兩角和都是鈍角 ? 任意兩邊的平方和大于