皇后與女仆——從數(shù)學(xué)史看數(shù)學(xué)的文化價(jià)值引言：從數(shù)學(xué)的公眾形象談起-文庫(kù)吧
2025-09-05 05:25 本頁(yè)面
【正文】 ” 把大家認(rèn)為 “ 簡(jiǎn)單而無(wú)可爭(zhēng)辯的原則 ” 和 “ 不言而喻的真理 ” 作 為出發(fā)點(diǎn)，按照數(shù)學(xué)的語(yǔ)言這就是從公理出發(fā)。顯然，領(lǐng)導(dǎo)法國(guó)大革命和美國(guó)獨(dú)立戰(zhàn)爭(zhēng)的思想家、政治家們都接受了歐幾里得數(shù)學(xué)思維的影響。另外，有記載說(shuō)美國(guó)南北戰(zhàn)爭(zhēng)時(shí)期的總統(tǒng)林肯 “ 相信思維能力像肌肉一樣也可以通過(guò)嚴(yán)格的鍛煉而得到加強(qiáng) ?” 為此他想方設(shè)法搞到了一本歐幾里得的《原本》并下決心親自證明其中的一些定理， 1860年他還自豪地報(bào)告說(shuō)他已基本掌握了《原本》的前六卷 ” 。 上述例子是很有代表性的，說(shuō)明了數(shù)學(xué)公理化思維、邏輯論證思維對(duì)人類文化和社會(huì)進(jìn)步的影響。 (二 )數(shù)學(xué)是其它科學(xué)的工具和語(yǔ)言 關(guān)于這一點(diǎn) ,很多數(shù)學(xué)家和非數(shù)學(xué) 家都作過(guò)精辟的論述 ,所以請(qǐng)?jiān)试S我在這里先來(lái)一點(diǎn)引經(jīng)據(jù)典。德國(guó)大數(shù)學(xué)家、號(hào)稱 “ 數(shù)學(xué)王子 ” 的高斯 (圖 4)有句名言： “ 數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后 ”這句話幾乎可以說(shuō)家喻戶曉，但許多人可能不知道，高斯跟這句話一起說(shuō)了一段話，高斯這段原話的意思可以概括為兩句話， “ 數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)學(xué)也是科學(xué)的女仆。 ” 3 兩句話， “ 數(shù)學(xué)是科學(xué)的皇后，數(shù)學(xué)也是科學(xué)的女仆 .” 我理解，前一句話突出數(shù)學(xué)是精密思維的典范，后一句則強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)為其它科學(xué)服務(wù)，是其它科學(xué)的工具 .非常形象和恰當(dāng)?shù)胤从沉藬?shù)學(xué)的價(jià)值和作用 . (二 )數(shù)學(xué)是其它科學(xué)的 工具和語(yǔ)言（續(xù)） 高斯是數(shù)學(xué)家 , 我們?cè)倏纯匆恍┓菙?shù)學(xué)家的觀點(diǎn)。德國(guó)哲學(xué)家康德曾經(jīng)這樣說(shuō)道： “我堅(jiān)決認(rèn)為，任何一門自然科學(xué)，只有當(dāng)它數(shù)學(xué)化之后，才能稱得上是真正的科學(xué)。 ” 無(wú)產(chǎn)階級(jí)革命家馬克思也說(shuō)過(guò)：“一種科學(xué)只有在成功地運(yùn)用數(shù)學(xué)時(shí)，才算達(dá)到了真正完善的地步。 ” (二 )數(shù)學(xué)是其它科學(xué)的工具和語(yǔ)言 科學(xué)史上有大量的例子可以印證高斯和馬克思等的觀點(diǎn)。在 20世紀(jì)初相對(duì)論的創(chuàng)立過(guò)程中，數(shù)學(xué)就建有奇功。 1907年，德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（ H. Minkowski,1864－ 1909）提出 “ 閔可夫斯基空間 ” ，為愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論提供了合適的數(shù)學(xué)模型。有了閔可夫斯基時(shí)空模型后，愛(ài)因斯坦 (圖 5)又進(jìn)一步研究引力場(chǎng)理論以建立廣義相對(duì)論。 1912年夏他已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理，但為了實(shí)現(xiàn)廣義相對(duì)論的目標(biāo)，還必須尋求理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，一個(gè)很重要的要求是使引力定律在一定的坐標(biāo)變換下保持不變(即所謂協(xié)變 )。愛(ài)因斯坦為此徘徊徬徨了 3年時(shí)間，最后在他的大學(xué)同學(xué)數(shù)學(xué)家格羅斯曼（ M. Grossman）介紹下學(xué)習(xí)掌握了意大利數(shù)學(xué)家勒維 奇維塔等在黎曼幾何基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的絕對(duì)微分學(xué)，亦即愛(ài)因斯 坦后來(lái)所稱的張量分析，并很快發(fā)現(xiàn)這正是建立廣義相對(duì)論引力理論的合適的數(shù)學(xué)工具。在 1915年 11 月 25日發(fā)表的一篇論文中，愛(ài)因斯坦終于導(dǎo)出廣義協(xié)變的引力方程 愛(ài)因斯坦指出， “ 由于這組方程，廣義相對(duì)論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成。 ” 廣義相對(duì)論這幢大廈現(xiàn)在可以蓋上金頂了 , 而這個(gè)金頂依靠的恰恰是數(shù)學(xué)。 4 后來(lái)，在回顧這段歷史時(shí)，愛(ài)因斯坦坦率地承認(rèn)了他過(guò)去輕視數(shù)學(xué)是一個(gè)極大的錯(cuò)誤，他反省道： “ 在幾年獨(dú)立的科學(xué)研究之后，我才逐漸明白了在科學(xué)探索的過(guò)程中，通向更深入的道路是同最精密的數(shù)學(xué)方法聯(lián)系在一起的。 ” 這是愛(ài)因斯坦 自己的話。是作為一個(gè)科學(xué)家的深切體會(huì)。 根據(jù)愛(ài)因斯坦的引力場(chǎng)方程從數(shù)學(xué)上推導(dǎo)出來(lái)的結(jié)論，有一些后來(lái)被實(shí)驗(yàn)證實(shí)了，例如光線在引力場(chǎng)中的彎曲行為 (圖 6 ， 1919年一次日全食過(guò)程中觀察到的星光彎曲曾轟動(dòng)世界 )。按照愛(ài)因斯坦理論空間是彎曲的，剛提到的方程中的未知量是度規(guī)張量，空間的形式是靠這個(gè)張量來(lái)描述的，一旦知道了空間的物質(zhì)分布，從理論上就可解出這些度規(guī)張量，這個(gè)空間的形式也就知道了。 按照微分幾何學(xué)，一般情況下解出的空間曲率是不等于零的，曲率不等于零表示空間有彎曲，但是空間彎曲的理 論在愛(ài)因斯坦以前數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)創(chuàng)造出來(lái)了，那就是在 19世紀(jì)初葉高斯和俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基、匈牙利數(shù)學(xué)家波約等人創(chuàng)立并經(jīng)黎曼等人發(fā)展的非歐幾何學(xué)。高斯曾稱這種幾何為 “ 星空幾何 ” ，羅巴切夫斯基也堅(jiān)信自己發(fā)現(xiàn)的新幾何總有一天 “ 可以像別的物理規(guī)律一樣用實(shí)驗(yàn)來(lái)檢驗(yàn) ” ，愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論恰恰揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最精彩
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