167132三重積分-文庫(kù)吧
2025-08-26 19:20 本頁(yè)面
【正文】 mlddzzyxf ?]),([? ? ??badcmldzzyxfdydx ),(例 2 計(jì)算 ????x d x d yd z其中 是三個(gè)坐標(biāo)面與平面 x + y + z =1 所圍成的區(qū)域 ?解 畫(huà)出區(qū)域 D 10 10 ?? ??? x xy?? ??x d x d y d z? ? ?? ???101010x yxx d zdydx ? ???102241)1(21dxxxo D x y z 例 3 化三重積分 ????? d x d y d zzyxfI ),( 為三 次積分，其中 積分區(qū)域 ? 為由曲面 22yxz ?? ,2xy ? , 1?y , 0?z 所圍 成的空間閉區(qū)域 . .11,1,0:222?????????xyxyxz解 ? ??? ?? 1 1 01 222 ),(yxx dzzyxfdydxI .② 先重后單 除了上面介紹的先單后重法外，利用先重后單法或切片法也可將三重積分化成三次積分 先重后單，就是先求關(guān)于某兩個(gè)變量的二重積分再求關(guān)于另一個(gè)變量的定積分 若 f(x,y,z) 在 上連續(xù) ?? 介于兩平行平面 z = c1 , z = c2 (c1 c2 ) 之間 用任一平行且介于此兩平面的平面去截 得區(qū)域 ?)(),( 21 czczD ??則 ??? ? ????21 )(),(),(cc zDdxdyzyxfdzdvzyxf 易見(jiàn)，若被積函數(shù)與 x , y 無(wú)關(guān)，或二重積分容易計(jì)算時(shí)，用截面法較為方便， 尤其當(dāng) f ( x , y , z ) 與 x , y 無(wú)關(guān)時(shí) ??)( zDd x d y 就是截面的面積，如截面為圓、橢圓、三角形、正方形等，面積較易計(jì)算 截面法的一般步驟：( 1) 把積分區(qū)域 ? 向某軸 （例如 z 軸）投影，得投影區(qū)間 ],[21cc ；( 2 ) 對(duì) ],[21ccz ? 用過(guò) z 軸且平行 xoy 平面的平面去截 ? ，得截面 zD 。( 3 ) 計(jì)算二重積分 ??zDd x d yzyxf ),( 其結(jié)果為 z 的函數(shù) )( zF ；( 4 ) 最后計(jì)算單積分 ?21)(ccdzzF 即得三重積分值 .z例 5 計(jì)算 1:, 2222222 ??????czbyaxdvz??解 之間介于易見(jiàn) czcz ??? ,?2222221:)( czbyaxzD ?????? ? ?????cc ZDd x d ydzzdvz)(22dzczzabcc)1(222???? ?30222154)1(2 abcdzczzabc?? ??? ?例 6 ??? ????? 1,:, 22 zyxzd x d yd z解一 先重后單 之間介于 1,0 ?? zz?zyxzD ?? 22:)(??? ? ????10 )( zDd x d ydzd x d y d z? ??10 2?? z d z解二 先單后重 將 投影到 xoy 面得 D ? 122 ?? yx??? ?? ????? D yxdxdydzd x d y d z1122][?? ? ? ??????Dr d rrdd x d yyx20102222)1(4)1(???三、三重積分的換元 換元公式 柱面坐標(biāo)變換 球面坐標(biāo)變換 .),( ),(39。du dv dww
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