輸油管線布置的最優(yōu)設(shè)計-數(shù)模競賽優(yōu)秀論-文庫吧
2025-05-18 09:33 本頁面
【正文】 圖 1 看圖分析 可知，管道線的總長 : S AE K E BE? ? ? （一） 假設(shè)非共用管線的費用 1p 和共用管線費用 2p 相等，同為 P（ P） 0） , 那么，當 S 最小時，總費用最小。現(xiàn)在以總費用為目標函數(shù)，以 x,y 為決策變量，建立數(shù)學模型： ? ? ? ? ? ?2 2 22Z S p x a y l x b y y p??? ? ? ? ? ? ? ? ????? 約束條件： 00 xlyb???? 問題歸結(jié)為：在指定區(qū)域內(nèi)，當 x、 y 為何值時 ， Z取得最小值。 2 2 2 2()( ) ( ) ( )z x x l px a y x b y l x????? ? ? ? ? ? 2 2 2 2( 1 )( ) ( ) ( )z y a y b py a y x b y l x? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? 4 令 0zx???和 0zy???，化簡后得 2 2 2 2( ) ( ) ( )l x a y x b y? ? ? ? （ 1） 8 6 2 4 4 83 ( ) 8 ( ) 6 ( )y a y a x x y a x? ? ? ? ? ? （ 2） 即： 8 6 43 ( ) 8 ( ) 6 ( ) 1 0y a y a y ax x x? ? ?? ? ? ? 解此方程得 2 1()3yax? ? 33ya y a xx?? ? ? ? ? ? 這是過（ 0， a）且傾斜角為 150 度 和 30 度 的兩條直線 再由（ 1）代入上式，得 2 1()3bylx? ?? 所以 33bylx? ??? 即 ： 3 ()3y b x l? ? ? ? 這是過點（ l ， b） ,傾斜角為 30 度 和 150 度 的 兩條直線。 根據(jù)本題的求最小值的要求，取 33y a x? ?? 和 3 ()3y b x l? ? ?兩條直線的交點，即： 兩管道線匯合點 E 的坐標為（ x， y） 是 3 ()333y b x ly a x? ? ? ????? ? ? ??? （ 3） 解得 ： 3 ( )22326a b lxa b ly? ?????? ?? ???? （ 4） 即 管線建設(shè)費用最省時交匯點 E 的坐標（ x， y） 是關(guān)于 a， b， l 的函數(shù)。 再將它們代入約束條件： 00 xlyb???? 得： 33abl? ? ， 33bal? ? （ 5） 也就是說： 5 ① 當 A 、 B 兩廠之間的位置符合上述條件（ 5）的時候，管道的鋪設(shè)線路如圖 1 所示，且 兩管道線匯合點 E 的坐標為（ 3( )22a b l? ?， 326a b l? ? ） 。 如果 A 、 B 兩廠之間的位置不符合上述條件（ 5），那么 E 的坐標需要根據(jù)具體情況確定： ② 若 bal? 33 即 l? 3( )ba? 時 也就是，兩廠之間的橫向距離很小，而兩廠與鐵路線的距離相差比較大的時候，比如 133abl???????? 132abl????????……. 通過 lingo 求得 兩管道線匯合點 E 的坐標近似為 （ 0， 1）。 事實上，當由 (4)算出的 x 0? 時，管道長度肯定大（斜邊大于直角邊），如圖 2 圖 2 因此目標函數(shù)的最小值只能在 x=0 時取得。 當 x=0 時，目標函數(shù)化為 2 2 2[ ( ) ( ) ]z a y b y l y p? ? ? ? ? ? 通過分析和計算，當 ya? 時， Z最小， 所以，當 bal? 33 時， 兩管道線匯合點 E 的坐標為 （ 0， a）。 ③ 若 33abl? ? 即 3( )l a b??時， 也就是，兩廠之間的橫向距離比較大，而兩廠與鐵路線的距離都比較近的時候，比如 6 127abl???????? 128abl????????……. 由（ 4）算出的 y0，而管線沒有必要鋪到鐵路線的另一側(cè)（如圖 3）， 所以令y=0 是合理的。 圖 3 此時的目標函數(shù)為 2 2 2 2[ ( ) ]z a x l x b p? ? ? ? ?，運用求一元函數(shù)極值的方法可以算得，當 alx ab? ?時 Z最小。 所以，當 33abl? ? 時， 兩管道線匯合點 E 的坐標為 （ alab? ， 0） （二） 設(shè)非共用管線的費用 1p 和共用管線費用 2p 不相等， 目標函數(shù)為： ? ? ? ? ? ?2 2 2212z x a y l x b y p y p??? ? ? ? ? ? ? ????? 約束條件： 00 xlyb???? 問題同樣歸結(jié)為：在指定區(qū)域內(nèi)，當 x、 y 為何值時， Z取得最小值。 運用 Matlab 軟件求 Z關(guān)于 x， y 的兩個偏導數(shù)，并令它們等于零，再用 Matlab軟件解方程組（程序見附件 1），得 x、 y 如下： 化簡后，得 221222221242222 4ppa b lxppa b lypp? ??? ?????? ??? ?? （ 4） ’ 7 可見，在 p1， p2 已確定時， 管線建設(shè)費用最省時交匯點 E 的坐標（ x， y） 也僅是關(guān)于 a， b， l 的函數(shù)。 令 221224ppp? = t ,則 兩管道線匯合點 E 的坐標為 2222a b lxta b lyt?? ??????? ???? （ 6） 再將（ 6）代入約束條件： 00 xlyb???? 得： 1ablt? ? ， 1balt? ? （ 7） 也就是說： ① 當 A 、 B 兩廠之間的位置符合上述條件（ 7）的時候，管
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