【正文】 m)3s i n( 34l i m 3323 ???????? ????? xxxxx xxxxx 類型 3： 因式分解 并 消去零因子 ，再計(jì)算極限 31 45 86lim224 ????? xxxxx 解： 45 86lim224 ????? xxxxx= ??? ??? )1)(4( )2)(4(lim4 xx xxx 3212lim4 ???? xxx 32 223 6lim 12x xxxx?? ???? ? ? ? ?? ? ? ?223 3 3326 2 5l im l im l im1 2 3 4 4 7x x xxxx x xx x x x x? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? ? ? 33 4 23lim 222 ? ??? x xxx 解 4121l i m)2)(2( )1)(2(l i m4 23l i m 22222 ?????? ???? ????? xxxx xxx xxxxx 其他： 0s i n21l i ms i n 11l i m2020 ?????? xxxx xx ， 221s i nl i m11s i nl i m 00 ???? ?? xx x xx ??? ???? 54 56lim 22 xx xxx 1lim 22 ??? xxx ， ?????? 543 62lim 2 2 xx xxx 3232lim 22 ??? xxx （ 0807 考題） 計(jì)算 xxx 4sin8tanlim0?． 解： xxx 4sin8tanlim0?= 248.4sin8ta nlim0 ???xxxxx （ 0801 考題 . ） 計(jì)算 xxx 2sinlim0?． 解 ?? xxx 2sinlim0 21sinlim210 ?? xxx （ 0707 考題 .）)1sin( 32lim21 ????? xxxx= 4)31(1)1s i n( )3).(1(l i m 1 ??????? ???? x xxx （ 二 ） 求 函數(shù)的 導(dǎo)數(shù) 和微分（ 1 小題， 11 分） （ 1）利用導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則 vuvu ?????? )( vuvuuv ?????)( （ 2）利用導(dǎo)數(shù)基本公式和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式 xx 1)(ln ?? 1)( ??? aa axx xx ee ??)( uee uu ??? .)( xxxxxxxx22csc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin?????????? xexeexexeexexeexxxxxxxxxs i n).( c o s)(c o s).( s i n)(2).()(c o sc o sc o ss ins ins in2 222????????????? xxxxx eeeeexxxxxuuuc o s).(c o s)( s i nc o s2).(c o s)( s i n.c o s)( s i n2222??????????? xxxx eeeeexxxxxuuus i n).(s i n)( c o ss i n2)(s i n)( c o s.s i n)( c o s2222???????????????? 類型 1： 加減法與乘法混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先加減求導(dǎo)，后乘法求導(dǎo) ； 括號(hào)求導(dǎo)最 后計(jì)算 。 11 xxxy e)3( ?? 4 解： y? ＝ ? ?332233xxx e x e?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?13223 32 xxx e x e??? ? ?????13223 32 xx x e??? ? ????? 12 xxxy lncot 2?? xxxxxxx ??????????? ln2c s c)( l nln)(c s c)ln()( c o t 22222 13 設(shè) xxey x lntan ?? ，求 y? ． 解 ： xxexexxexexxey xxxxx 1s e ctan1)(t a ntan)()(l n)tan( 2 ????????????? 類型 2： 加減法與 復(fù)合函數(shù) 混合運(yùn)算的求導(dǎo)，先加減求導(dǎo)，后 復(fù)合 求導(dǎo) 21 xxy lnsin 2 ?? ， 求 y? 解： xxxxxy 1c os2)(l n)(s i n 22 ??????? 22 2sinecos xy x ?? ， 求 解：22 c o s2es i ne).(c o s).(s i n)( s i n)( c o s xxxxeexey xxxxx ????????????? 23 xexy 55ln ??? ， 求 ， 解：xx xxexy 5455 e5ln5).()(l n ?? ??????? 類型 3： 乘積與復(fù)合函數(shù) 混合運(yùn)算 的求導(dǎo)， 先 乘積 求導(dǎo)，后 復(fù)合 求導(dǎo) xey x cos2? ， 求 y? 。 解： xexxexexey xxxx s i nc os2)(c osc os)( 2222 ??????? 其他： x xy x cos2 ?? ， 求 y? 。 ???).(c os.)(c os2ln2)c os()2( x xxxxx xy xx oss nln2 xxxx ?? 0807. 設(shè) 2sin sin xey x ?? ，求 y? 解：2s i n2s i n c o s2c o s)( s i n)( xxxexey xx ??????? 2xxey? ，求 y? 解： 2222 22)()( xxxx exeexexy ??????? 0707. 設(shè) 2sin xey x ?? ，求 解：xxexxey xx 2c o s)().( s i n s in2s in ??????? 0701. 設(shè) xxy ecosln ?? ，求 解：xxxx xeexy es i ne1).(s i n)(l n ??????? （三） 積分計(jì)算： （ 2 小題， 共 22 分） 湊微分 類型 1： ?? ?? )1(d12 xdxx ?? 計(jì)算 ? xx xd1cos2 解： cxxdxxx x ????? ?? 1s i n)1(1c o sd1c o s2 ? xx dx1sin2． 解 ： cxxxx x ???? ?? 1c o s)1(dx1s i nd1s i n2 0701 計(jì)算 ? xxxde21 ． 解： ??? ?? )1(dede 121xxx xx cx ?? 1e 湊微分 類型 2： ?? ? xdx ?? 2dx1 .計(jì)算 ? xxxdcos． 解： cxxdxxx x ??? ?? s i n2c os2dc os ? xxdxsin． 解： cxxdxxx ???? ?? c os2s i n2dxs i n ? xe x dx 解 ： cexdexe xxx ??? ?? 22dx 5 湊微分 類型 3： ?? ? xdx lndx1 ??， )ln(dx1 ?? ?? xadx ?? 計(jì)算 ? xdxlnx1 解： cxduux xdx ???? ??? |ln|ln1lnlndxl nx1 . 計(jì)算 ??e1 dln2 xx x 解： ?? ???? e1e1 )ln2()dln2(dln2 xxxx x 25)ln2(21 12 ??? ex 5 定積分計(jì)算題 ， 分部積分法 類型 1 ：cxaxaxdxxaxxax dxax dxx aaaaaa ??????????? ???? ??? 12111 )1( 1ln111ln11ln11ln 計(jì)算 ?e1 lnxdxx 解： 1?a ， cxxxx dxx dxx ????? ? 222 41ln21ln21ln 411)4ln2(ln21l nx d2221 2e1eexxxx dxxx e ????? ?? 1)10()(1)ln(dlne1 ???????? eeexxxxx 計(jì)算 ?e1 2 dln xxx 解： 2??a ， cxxxxxddxx x ?????? ?? 1ln1)1(lnln2 eexx xxxxx x 211)1ln()1(dlndln e1e1 2 ??????? ?? 計(jì)算 dxxxe?1 ln 解： 21??a ， cxxxxxddxxx ???? ?? 4ln2ln2ln dxxxe?1 ln =421)4ln2(ln2 1 ?????? eexxxxxde 0807 ??e1 lnxdx x 94921)94ln32( xl nx d32 232323e1 23 ????? eexxx 0707 ?? ? e1 3e1 2 nxd31dln xlxxx 91921)91lnx31( 333 ???? eexx 類型 2 ceaxeaexdadxxe axaxaxax ???? ?? 211)(1 xx dexdxxe 21010 2 21 ?? ? 414101)4121( 222 ???? eexe xx xx dexdxxe ?? ?? ?? 1010 1201)( 1 ?????? ??? eexe xx xx dexdxxe 21010 2 21 ?? ?? ?? 414301)4121( 222 ?????? ??? eexe xx （ 0801 考題） ??10 xdxe x 101)xe(xde10 xx ???? xe 類型 3： caxaaxxaax dxaaxxaax dxx ??????? ?? s i n1c os1c os1c os1s i n 2 caxaaxxaax dxaaxxaax dxx ????? ?? c os1s i n1s i n1s i n1c os2 ??20 sin? xdxx 10102)s i nc o s(c o s20 ??????? ? ?? xxxxxd ??20 cos? xdxx 1202)c o ss i n(s i n20 ????? ??? xxxxxd ?? ??????? cxxxx dxxxxxx 2s i n412c os212c os212c os21d2s i n ??20 2sin? xdxx 40402)2s i n412c o s21(2c o s21 20???? ??????? ? xxxxxd 22 2202101 1 1 1c o s 2 s in 2 | s in 2 c o s 2 |2 2 4 2x x d x x x x d x x?? ??? ? ? ? ??? 四、應(yīng)用題（ 1 題， 16 分） 類型 1： 圓柱體上底的中心到下底的邊沿的距離為 l，問(wèn)當(dāng)?shù)装霃脚c高分別為多少時(shí)，圓柱體的體積最大？ 解：如圖所示，圓柱體高 h 與底半徑 r 滿足 222 lrh ?? 圓柱體的體積公式為 hhlhrV )(π 222 ??? ? l 6 求導(dǎo) 并 令 0)3(π 22 ???? hlV 得 lh33?，并由此解出 lr36?． 即當(dāng)?shù)装霃?lr 36? ，高 lh 33? 時(shí)，圓柱體的體積最大． 類型 2： 已知體積或容積，求表面積最小時(shí)的尺寸。 21（ 0801 考題） 某制罐廠要生產(chǎn)一種體積為 V 的有蓋圓柱形容器，問(wèn)容器的底半徑與高各為多少時(shí)用料最省 ？ 解：設(shè)容器的底半徑為 r ，高為 h ，則其 容積22 .,.. rVhhrV ?? ?? 表面積為 rVrrhrS 2π2π2π2 22 ???? 22π4 rVrS ???， 由 0??S 得3 π2Vr?，此時(shí)3 π42 Vrh ??。 由實(shí)際問(wèn)題可知，當(dāng)?shù)装霃? π2Vr?與高 rh 2? 時(shí)可使用料最省 。 一體