【正文】 lim2022022020???????????????????????????????????? xxxxxxxxxxxx 5) 2coslim2?????? ? . 第 9 頁(yè) 共 42 頁(yè) 解 ： 因?yàn)?)2sin(cos ??? ??，可設(shè) ????2t，當(dāng)2???時(shí)， 0?t ，所以2coslim2?????? ?=0sin 1limttt? ? 6) ??xlim xx)31( ? 7) 0lim?xxx 121 ）（ ? 8) ??xlim xxx ）（ 21?? 例 .)1ln(lim0 x xx ??計(jì)算 解： )1ln (lim)1ln (lim 100 xxx xxx ?????， ，令 xxu 1)1( ?? 則當(dāng) x? 0 時(shí)， u? e， 原式 = 1，即 ： 1)1ln(lim0 ??? x xx 所以例 xxx1elim0??計(jì)算 解 令 u = ex 1 ，則 x = ln(1 + u)，當(dāng) x ? 0 時(shí) u ? 0. 所以：1)1ln (lim1elim 00 ???? ?? uux uxx ，即： 11elim0 ??? xxx ....第 10 頁(yè) 共 42 頁(yè) 第三章 導(dǎo)數(shù)與微分 第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念及其定義求法 1. 導(dǎo)數(shù)概念的引入 10864225 5 10 15φαx0+ xyxx 0A x xfxxfxy ? ??????? )()(ta n 00? )(39。)()(limlimt a n 00000 xfx xfxxfxy xx ?? ??????? ????? ?? tanlimtan 0??? x 2. 導(dǎo)數(shù)的概念 定義： 設(shè)函數(shù) )(xfy? 在 0x 的領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 x 在點(diǎn) 0x 處取得該變量 )0(??x 時(shí)，函數(shù) )(xfy? 在 0x 的 極限 x xfxxfxyxx ???????????)()(limlim 0000存在，則稱(chēng) )(xfy? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)，并稱(chēng)此極限為函數(shù) )(xfy? 在 0x 的導(dǎo)數(shù)即：x xfxxfxyxf xx ? ??????? ???? )()(limlim)(39。 00000 注意： 函數(shù)的平均變化率與瞬時(shí)變化率（邊際成本）之間的關(guān)系 ： 平均變化率： x xfxxfxy ? ?????? )()( 00 瞬時(shí)變化率： )(39。)()(limlim00000 xfx xfxxfxy xx ?? ?????? ???? 3. 導(dǎo)數(shù) 的定義求法 ： 第 11 頁(yè) 共 42 頁(yè) 求 y? 求 x? 求極限xyx ???? 0lim 4． 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ： )(39。)()(limlimt a n00000 xfx xfxxfxy xx ?? ??????? ????? 即：函數(shù) )(xfy? 在 0x 的導(dǎo)數(shù)即函數(shù)在該點(diǎn)處的切線之斜率 5. 微分的定義 ： 設(shè) )(xfy? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo) ， 自變量 x 在點(diǎn) 0x 處取得該變量 )0(??x 時(shí) ，則稱(chēng)xxf ?)( 039。 為函數(shù) )(xfy? 在點(diǎn) 0x 處 的微分。 記作： xxfdyxx ??? )(39。 00 或 dxxfdyxx )(39。 00 ?? 6. 微分的幾何意義： dyxxfy ???? )(39。 10864225 5 10 15φαx0+ xyxx 0A 第二節(jié) 導(dǎo)數(shù) 與微分 的求法 一、基礎(chǔ)知識(shí)： 1. 幾個(gè)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 239。239。39。39。39。39。39。39。139。1)1(,c os1)( t a n,s i n)( c os,c os)( s i n,1)( l n,ln1)( l og,)(,ln)(,)(xxxxxxxxxxaxeeaaanxxxaxxxxnn??????????? ? 2. 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則 1) 四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)法則 第 12 頁(yè) 共 42 頁(yè) 239。39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。39。)(,)(,)(,)(uvuuvuvuvvuuvvuvuvuvu?????????? 2) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則 重點(diǎn)內(nèi)容 39。39。39。)(),( xux uyyxuufy ???? 均可導(dǎo)，則? ： dxxfdy )(39。? 先求導(dǎo)數(shù)再求微分 二、例題選講： 例 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 與微分 ： 1) xxy x 2c o slo g2 23 ???? 2) 4)21( xy ?? 3) 2xey? 4) 223sin xexy ??? 5) xy cosln? 6) 2sin2cos xy x ?? （ 222 c o s22s in2ln2)(c o s)2(2s in xxxxy xxxx ????????? ） 7) )(xf xx sin2? 8) ))31ln(sin( 2xy ?? 9) )cos(sin xxey x ?? 10) 12??x xy 11) xxy sincos1?? 12) y xxx 2cos?? 13) xxxy ln2 ??? 14) 2e2sin xxy ??? 15) y x? ?1 23 ln 第 13 頁(yè) 共 42 頁(yè) 第三節(jié) 函數(shù) )(xfy? 的變化率 平均變化率：xyk ??? 瞬時(shí)變化率（邊際成本）： )(limlim 39。00 xfxyk xx ???? ???? 相對(duì)變化率（函數(shù)的彈性）：yxyxfxxfxxyyE xx ??????? ?? 39。39。0 )()(lim 第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 (一 ) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 定理 設(shè)函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 ],[ ba 上連續(xù)，在區(qū)間 ),( ba 內(nèi)可導(dǎo)。 如果 ),( bax? 時(shí)， 0)(39。 ?xf 則函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 ],[ ba 上單調(diào)遞增； 如果 ),( bax? 時(shí)， 0)(39。 ?xf 則函數(shù) )(xfy? 在區(qū)間 ],[ ba 上單調(diào)減少； 例 1． 下列函數(shù)在指定區(qū)間 ( , )???? 上單調(diào)減少的是（ ）．答案： D A． sinx B． e x C． x 2 D． 3x 例 求函數(shù) 61292)( 23 ???? xxxxf 的單調(diào)區(qū)間 。 解：函數(shù)定義域?yàn)?),( ???? ， )2)(1(612186)(39。 2 ?????? xxxxxf ，令 0)(39。 ?xf 得：2,1 21 ?? xx ，以點(diǎn) 2,1 21 ?? xx 為分點(diǎn)，將函數(shù)定義域分成三個(gè)子區(qū)間： ),2(),2,1(),1,( ???? 當(dāng) 0)(39。)1,( ???? xfx 時(shí)， ， 函數(shù)在該區(qū)間上為增函 數(shù)； 當(dāng) 0)(39。)2,1( ?? xfx 時(shí)， ，函數(shù)在該區(qū)間上為減函數(shù)； 當(dāng) 0)(39。)2( ???? xfx 時(shí)， ，函數(shù)在該區(qū)間上為增函數(shù)； (二 ) 求函數(shù)的極值 ? 極值點(diǎn) 的定義 ： 設(shè)函數(shù) )(xfy? 在 0x 的領(lǐng)域內(nèi)有定義 。如果對(duì)該領(lǐng)域內(nèi)的任意一點(diǎn) )( 0xxx ? 恒有 )()()()( 00 xfxfxfxf ?? 或 ，則稱(chēng) 0x 為 函數(shù) )(xfy? 的極值點(diǎn) 。 ? 極值點(diǎn)的性質(zhì)定理 ： 若點(diǎn) 0x 為 函數(shù) )(xfy? 的極值點(diǎn)，且 )(39。 0xf 存在，則 0)(39。 0 ?xf 。 （ 反之不一定成立 ） 第 14 頁(yè) 共 42 頁(yè) ? 駐點(diǎn) 的定義 ： 若 存在 點(diǎn) 0x ，使得 0)(39。 0 ?xf ，則稱(chēng) 點(diǎn) 0x 為函數(shù) )(xfy? 的駐點(diǎn)。 ? 極值點(diǎn)判定定理 ： 設(shè)函數(shù) )(xfy? 在 0x 的領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo)（ )(39。 0xf 可以不存在）。則： 1) 如果在點(diǎn) 0x 的左領(lǐng)域內(nèi) 0)(39。 ?xf ，右領(lǐng)域內(nèi) 0)(39。 ?xf ，那么點(diǎn) 0x 為函數(shù))(xfy? 的極大值點(diǎn)，且 )( 0xf 是 )(xfy? 的極大值。 2) 如果在點(diǎn) 0x 的左領(lǐng)域內(nèi) 0)(39。 ?xf ，右領(lǐng)域內(nèi) 0)(39。 ?xf ，那么點(diǎn) 0x 為函數(shù))(xfy? 的極小值點(diǎn)，且 )( 0xf 是 )(xfy? 的極小值。 3) 如果在點(diǎn) 0x 的領(lǐng)域內(nèi) )(39。 xf 不變號(hào)，那么點(diǎn) 0x 不是 )(xf 的極值點(diǎn)。 注意： 可能出現(xiàn)的情況有兩種： 第一種情況： 點(diǎn) 0x 是 )(xf 的極值點(diǎn) （ 1） 函數(shù) )(xfy? 在 0x 的領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo) ， )(39。 0xf 存在且 0)(39。 0 ?xf 。 765432114 2 2 4f 39。( x 0 )= 0f 39。( x ) 0f 39。( x ) 0x 054321124 2 2 4f 39。( x 0 )= 0f 39。( x ) 0 f 39。( x ) 0x 0 （ 2） 函數(shù) )(xfy? 在 0x 的領(lǐng)域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo) ， )(39。 0xf 不存在 ，但 )( 0xf 仍然是極值點(diǎn)。 211232 2 4f 39。( x 0 )不存在f 39。( x ) 0 f 39。( x ) 0x 05432112 2 4f 39。( x 0 )不存在f 39。( x ) 0f 39。( x ) 0x 0 第 15 頁(yè) 共 42 頁(yè) 第二種情況：點(diǎn) 0x 不 是 )(xf 的極值點(diǎn) 。在點(diǎn) 0x 的領(lǐng)域內(nèi) 保號(hào)，不管 )(39。 0xf 是否存在點(diǎn) 0x 都不 是 )(xf 的極值點(diǎn) 。 543212 2 4f 39。( x 0 )不存在f 39。( x ) 0f 39。( x ) 0x 03212 2f 39。( x 0 ) = 0f 39。( x ) 0f 39。( x ) 0x 0 函數(shù)極值點(diǎn)可能存在于以下幾種情況 ： i. 駐點(diǎn) ii. 導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) ? 求函數(shù)極值點(diǎn)及極值的步驟： 1) 確定函數(shù)的定義域，并求其導(dǎo)數(shù) )(39。 xf ； 2) 解方程 0)(39。 ?xf ，求出 )(xf 在其定義域內(nèi)的所有駐點(diǎn) ； 3) 找出 )(xf 連續(xù)但導(dǎo)數(shù)不存在的所有點(diǎn) ； 4) 討論 )(39。 xf 在駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的左右兩側(cè)附近符號(hào)變化的情況，確定函數(shù)的極值點(diǎn) ； 5) 求出極值點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（極大值或極小值） 。 例 求下列函數(shù)的駐點(diǎn) 及導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn) ： 1) xxxf 6)( 2 ?? 2) xxxf 4)( ?? 3) xexxf ?? 2)( 4) xxxf ?? 323)( 5) xexxf ??)( 例 求下列函數(shù)的極值： 1) 2238)( 234 ????? xxxxf 解：函數(shù)的定義域?yàn)?),( ???? ，且 223 )1(4484)(39。 ??????? xxxxxxf ，令 0)(39。 ?xf第 16 頁(yè) 共 42 頁(yè) 得駐點(diǎn) 1,0 21 ?? xx ，該函數(shù)沒(méi)有導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。駐點(diǎn)將定義域分成三個(gè)子區(qū)間，其函數(shù)值分析如下表： x )0,(?? 0 （ 0,1） 1 ),1( ?? )(39。 xf + 0 0 )(xf 2 極大值 35 非極大值 由表可知， 01?x 是函數(shù) )(xf 的極大值點(diǎn)， )(xf 的極大值是 2)0( ?f 2) xxxf ?? 323)( 解：函數(shù)的定義域?yàn)?),( ???? ，且3331 212)(39。x xxxf ???? ?， 令 0)(39。 ?xf 得駐點(diǎn)81?x ，又 )(39。 xf 在點(diǎn) 02?x 處不存在。這兩點(diǎn)將函數(shù)定義域分為三個(gè)子區(qū)間， 其函數(shù)值分析如下表： x )0,(?? 0 （ 0,8） 8 ),8( ?? )(39。 xf 不存在 + 0 )(xf 0 極小值 4 極大值 由表可知， 02?x 是函數(shù) )(xf 的極 小 值點(diǎn)， )(x