【正文】 和為最小，即 ? ?????ni iiyeQ12 ? 2)( ?為最小。 為獲得其最小值，求 Q對的導(dǎo)數(shù)，并令導(dǎo)數(shù)等于 0，可得： 0)(2 ?? ??????niiyQ1???即總體平均數(shù)的估計量為： ???niiyn1? 1? 因此，算術(shù)平均數(shù)為總體平均數(shù)的最小二乘估計。這與矩法估計是一致的。 估計離均差平方和 的數(shù)學(xué)期望： 2)( yyQi ????222222222)1(])()([])())((2)([])([])([)(????????????????????????????????n/nn σn σμyμyEμyμyμyμyEyyEyyEQEiiiii因而， 估計為： 2?1)(1)( ?????? ? nyynQ i 22 )(??與矩法所得不同，而與常規(guī)以自由度為除數(shù)法一致。 [例 ] 求例 1個小區(qū) (表)的最小二乘估計量和估計值。 iy表 生長素處理豌豆的試驗結(jié)果 處 理 (A) 組 (B) 總和 Ti 平均 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 對照 (CK) 60 62 61 60 243 赤霉素 65 65 68 ye 198+ye 動力精 63 61 61 60 245 吲哚乙酸 64 67 63 61 255 硫酸腺嘌吟 62 65 62 64 253 馬來酸 61 62 62 65 250 總和 T j 375 382 377 310+ye T=1444+ye 從第 6章可知，這種資料模式的線性模型為： 按照最小二乘法的估計原理，使 ijjiijy ???? ????? ??ai i10? ? ??rj j10? 該模型的約束條件為： ， 和誤差項服從正態(tài)分布。 ? ? ? ??????? ?ai jiijrj ijyQ1212? )( ????為最小時可以求出效應(yīng)和缺失小區(qū) ye的估計量，即 ?????????????? ? ???????? ????????? ????????? ? ????????? ???? ?airjjiijeaijiijjrjjiijiairjjiijyyQyQyQyQ1 1111 10)2(01))(2(01))(2(01))(2(???????????????從而，最小二乘估計量分別為： ? ?????????? ??????? ??????? ???? ???? ??? ??? ?airjijaiijrjijjieairjijaiijjjairjijrjijiiairjijyaryayryyaryayyyaryryyyary1 1111 111 111 1???????11111111??????因而表 ，缺失小區(qū)的估計值可由下式求出： 64144463104198??????? eeeeyyyy解上述方程，最小二乘估計值為： ye=。 缺區(qū)估計是根據(jù)線性模型，以及最小二乘法的原理得到的。不過，試驗中盡可能不要缺區(qū)，因為缺區(qū)估計盡管可以估計缺區(qū)的值，但是誤差的自由度將減少，本試驗的誤差自由度將減少 1。 一般地，若 m個自變數(shù) x x x … 、 xm與依變數(shù) y存在統(tǒng)計模型關(guān)系 ???? ?? )，，；，，( kmxxxfy ?? 2121(89) k??? ，， ?21其中， 為待估參數(shù)。 通過 n次觀測 (n＞ k)得到 n組含有 x1i , x2i ,…x mi , yi ( i=1,2,…,n )的數(shù)據(jù)以估計 。其最小二乘估計值為使 k??? ，， ?21221211 12 ][? )，，；，，(kmiiiininixxxfyQ ???? ???? ???? ?(810) 為最小的 。這種估計方法稱為參數(shù)估計的 最小二乘法 ( least squares )，或 最小平方法 。 k??? ??? 21 ，， ?第四節(jié) 極大似然法 所謂 極大似然法 ( maximum likelihood method )是值選擇使事件發(fā)生概率最大的可能情況的參數(shù)估計方法。 極大似然法包括二個步驟： (1)建立包括有該參數(shù)估計量的 似然函數(shù) ( likelihood function ) (2)根據(jù)實驗數(shù)據(jù)求出似然函數(shù)達極值時的參數(shù)估計量或估計值。 一、似然函數(shù) 對于離散型隨機變量，似然函數(shù)是多個獨立事件的概率函數(shù)的乘積，該乘積是概率函數(shù)值，它是關(guān)于總體參數(shù)的函數(shù)。 例如，一只大口袋里有紅、白、黑 3種球，采用復(fù)置抽樣 50次，得到紅、白、黑 3種球的個數(shù)分別為 12， 24， 14，那么根據(jù)多項式的理論，可以建立似然函數(shù)為： 143242121 )()()(!14!24!12!50 ppp 其中 p1， p2， p3分別為口袋中紅、白、黑 3種球的概率 (p3=1－ p1－ p2)，它們是需要估計的。 對于連續(xù)型隨機變量，似然函數(shù)是每個獨立隨機觀測值的概率密度函數(shù)的乘積，則似然函數(shù)為： )；()；()；()；，，()(?????nnyfyfyfyyyLL??2121?? (811) 若 yi 服從正態(tài)分布 ，則 ，上式可變?yōu)椋? )，( 2??N )( ??? ,?])()[(212)(2)(221222221222??????????????????????????nnyynyyeeeL??)1(11)，((812) 二、極大似然估計 所謂 極大似然估計 就是指使似然函數(shù)為最大以獲得總體參數(shù)估計的方法。其中，所獲得的估計總體參數(shù)的表達式稱為 極大似然估計量 ，由該估計量獲得的總體參數(shù)的估計值稱為總體參數(shù)的 極大似然估計值 。 為了計算上的方便，一般將似然函數(shù)取對數(shù)，稱為 對數(shù)似然函數(shù) ，因為取對數(shù)后似然函數(shù)由乘積變?yōu)榧邮剑浔磉_式為： ????ni inyfyyyLL121,lnlnln )()；，，()( ??? ?(813) 求極大似然估計量可以通過令對數(shù)似然函數(shù)對總體參數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)等于 0來獲得，即當(dāng) ，有 )，，(l???? ?21?)，，；，，( lnkyyyL ???? ?? 2121ln? ?0)，，；( ?? ? ???lini kyf ???? ?211（ k=1， 2， … ， l） (814) 由此獲得總體參數(shù)的極大似然估計量。 [例 ] 設(shè) y1 , y2 , … , yn是正態(tài)總體 的隨機樣本，求正態(tài)分布 參數(shù)的極大似然估計量。 )，( 2??N)，( 2??N似然函數(shù)為： ? ? ??????????????????????niinniiyyL12222122221ex p21]2ex p [21??????????)()，(取對數(shù)，得： ???????niiynnL1222221ln22ln2ln )()()，( ??????那么似然方程組為： ?????????????????????niniynLyL1242221220212ln01ln)()，()()，(???????????解得： ???????????????niiniiynyyn122111)( ??? 因此，正態(tài)分布總體平均數(shù)的極大似然估計量為： 當(dāng)總體平均值為未知時，方差估計量為 : ????nii yyn11??當(dāng)總體平均值為已知時，方差估計量為 : ????nii yyn122 1? )(?????niiyn122 1? )( ??[例 ] 求紅、白、黑球事例中 p1， p2， p3的極大似然估計值。 由 可獲得對數(shù)似然函數(shù) 14324212114241250 )()()(！ ！ ??！ ppp)()(21213213211ln14ln24ln12 ln14ln24ln12,lnppppCpppCpppL??????????其中， C為常數(shù)。 分別求 對 p1， p2的偏導(dǎo)數(shù)，并令為 0，得似然方程組： )1，( 2121ln ppppL ???????????????????????????????0111424)1 ln01114121 ln2122121221121211)(，()()，(pppppppLppppppppLp聯(lián)立求解，得： 257?,2512?256? 321 /p/p/p ??? ,顯然，極大似然估計值 等于其觀測頻率。 321 ??? ppp ， [例 ] 兩個親本的基因型分別為 AABB和 aabb，這兩個親本雜交后 F2出現(xiàn)了 4種基因型，分別為 A_B_、 A_bb、aaB_和 aabb，得到四種基因型的個數(shù)分別為 c、 d、 e、 f，已知 AA和 BB兩對基因間存在連鎖關(guān)系，現(xiàn)欲估計重組率？ 設(shè)重組率為 r，根據(jù)遺傳學(xué)推導(dǎo)，可以得到 4種基因型的概率見表 。 表 F2群體基因型的分離情況 基 因 型 A_B_ A_bb aaB_ aabb 總數(shù) 觀察得到基因型個數(shù) c(289) d(26) e(29) f(76) n(420) 概 率 1 412 2)( r??411 2)( r??411 2)( r??41 2)( r? 首先，通過表 F2群體16種基因型的概率計算出 4種表現(xiàn)型的概率 (表 )。 配子 及概率 AB (1－ r)/2 Ab r/2 aB r/2 ab (1－ r)/2 AB (1－ r)/2 AABB (1－ r)2/4 AABb r(1－ r)/4 AaBB r(1－ r)/4 AaBa (1－ r)2/4 Ab r/2 AABb r(1－ r)/4 AAbb r2/4 AaBb r2/4 Aabb r(1－ r)/4 aB r