【正文】 1dB 三角窗 25dB 8π /M 25dB 漢寧窗 31dB 8π /M 44dB 海明窗 41dB 8π /M 53dB 凱澤窗 57dB 12π /M 74dB 7 2 .3 MATLAB 環(huán)境下的設(shè)計(jì)實(shí)例 高通濾 波器的設(shè)計(jì) 用窗函數(shù)設(shè)計(jì)高通濾波器，性能指標(biāo)如下：通帶截止頻率ω s=，阻帶截止頻率ω p=，實(shí)際通帶波動(dòng) Rp=,最小阻帶衰減 As=70dB。 分析：從表 1 可以看出凱澤窗能提供 74dB 的最小阻帶衰減，所以選用凱澤窗進(jìn)行設(shè)計(jì)，程序主要部分如下： As=70。 ω s=*π 。 ω p=*π tr_width=ω pω s。 %計(jì)算過渡帶寬 M=ceil(()*2*π /(*tr_width)+1)+1。 按 凱澤窗計(jì)算濾波器長(zhǎng)度 disp([’濾波器的長(zhǎng)度為’ ,num2str(M)])。 beta=*()。 %計(jì)算凱澤窗的β值 n=[0:1:M1]。 disp([’線性相位斜率為’ ,num2str(beta)])。 w_kai=(kaiser(M,beta))’ 。 %求凱澤窗函數(shù) ω c=(ω s+ω p)/2。 hd=ideal_lp(π ,M)ideal_lp(ω c,M)。 %求理想脈沖響應(yīng) h=hd*w_kai。 %設(shè)計(jì)的脈沖響應(yīng)為理想脈沖響應(yīng)與窗函數(shù)乘積 [db,mag,pha,grd,ω ]=freqz_m(h,[1])。 delta_ω =2*π /1000。 Rp=(min(db(ω p/delta_ω +1:1:501)))。 disp([’實(shí)際通帶波動(dòng)為’ ,num2str(Rp)])。 %以下為作圖程序 As=round(max(db(1:1:ω s/delta_ω +1)))。 disp([’最小阻帶衰減為’ ,num2str(As)])。 subplot(1,1,1)。 subplot(2,2,1)。 stem(n,hd)。 title(’理想脈沖響應(yīng)’ )。 axis([0 M1 ])。 ylabel(’ hd(n)’ )。 subplot(2,2,2)。 stem(n,w_kai)。 title(’凱澤窗’ )。 8 axis([0 M1 0 ])。 ylabel(’ wd(n)’ )。 subplot(2,2,3)。 stem(n,h)。 title(’實(shí)際脈沖響應(yīng)’ )。 axis([0 M1 ])。 xlabel(’ n’ )。ylabel(’ h(n)’ )。 subplot(2,2,4)。 plot(ω /π ,db)。 title(’幅度響應(yīng) /dB’ )。 axis([0 1 100 10])。 grid。 xlabel(’以π為單位的頻率’ )。 ylabel(’分貝數(shù) /dB’ )。 程序運(yùn)行結(jié)果如圖 1所示。實(shí)際通帶波動(dòng)為 ,最小阻帶衰減為 70，濾波器長(zhǎng)度為 89，線性相位斜率為 ,符合設(shè)計(jì)要求。 （下圖是否能通過仿真完成？） 9 低通濾波器的設(shè)計(jì) 用窗函數(shù)設(shè)計(jì)低通濾波器，性能指標(biāo)如下：通帶截止頻率ω p=，阻帶截止頻率ω s=，實(shí)際通帶波動(dòng) Rp=,最小阻帶衰減 As=40dB。 分析：從表 1 可以看出，漢寧窗、海明窗和凱澤窗能提供大于 40dB 的最小阻帶衰減。但漢寧窗的旁瓣峰值較小，而主瓣寬度和海明窗一樣?？梢允篂V波器的階數(shù)較少，所以選用漢寧窗進(jìn)行設(shè)計(jì)，程序主要部分如下： ω p=*π 。 ω s=*π 。 tr_width=ω sω p。 %計(jì)算過渡帶寬 M=ceil(*/tr_width)+1。 %按漢寧窗計(jì)算濾波器長(zhǎng)度 disp([’濾波器的長(zhǎng)度為’ ,num2str(M)])。 n=0:M1。 ω c=(ω s+ω p)/2。 %截止頻率取為兩邊緣頻率的平均值 hd=ideal_lp(ω c,M)。 %求理想脈沖響應(yīng) w_han=(hanning(M))’ 。 %求漢寧窗函數(shù) h=hd*w_han。 %設(shè)計(jì)的脈沖響應(yīng)為理想脈沖響應(yīng)與 窗函數(shù)乘積 [db,mag,pha,grd,ω ]=freqz_m(h,[1])。%以下為作圖語句 delta_ω =2*π /1000。 Rp=(min(db(1:1: ω p/delta_ω +1)))。 disp([’實(shí)際通帶波動(dòng)為’ ,num2str(Rp)])。 %以下為作圖程序 As=round(max(db(ω s/delta_ω +1:1:501)))。 disp([’最小阻帶衰減為’ ,num2str(As)])。 subplot(221) stem(n,hd)。 title(’理想沖擊響應(yīng)’ ), axis([0 M1 ])。 ylabel(’ hd(n)’ )。 subplot(222) stem(n,w_han)。 title(’漢寧窗’ ), axis([0 M1 0 ])。 ylabel(’ wd(n)’ )。 subplot(223) stem(n,h)。 title(’實(shí)際沖擊響應(yīng)’ ), 10 axis([0 M1 ])。 xlabel(’ n’ )。 ylabel(′ h(n)′ )。 subplot(224)。 plot(ω /π ,db)。 title(′幅度響應(yīng)（ db)′ )。 axis([0 1 100 10]), grid。 xlabel(′以π為單位的頻率′ )。 ylabel(′分貝數(shù)′ )。 仿真結(jié)果如圖 2所示。實(shí)際通帶波動(dòng)為 ,最小阻帶衰減為 44，濾波器長(zhǎng)度為 67，符合設(shè)計(jì)要求。 與其他高級(jí)語言的程序設(shè)計(jì)相比， MATLAB 環(huán)境下可以更方便、快捷地設(shè)計(jì)出具有嚴(yán)格線性相位的 FIR 濾波器，節(jié)省大量的編程時(shí)間，提高編程效率，且參數(shù)的修改也十分方便，還可以進(jìn)一步進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。相信隨著版本的不斷提高， MATLAB在數(shù)字濾波器技術(shù)中必將發(fā)揮更大的作用。同時(shí)，用 MATLAB 計(jì)算有關(guān)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)參數(shù)，如 H(z)、 h(n)等，對(duì)于數(shù)字濾波器的硬件實(shí)現(xiàn)也提供了一條簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確的途徑和依據(jù)。 11 第三章 IIR數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)過程及方法 IIR 數(shù)字濾波器的基本特點(diǎn) 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以寫成封閉函數(shù)的形式。 數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。 IIR 濾波器運(yùn)算結(jié)構(gòu)通常由延時(shí)、乘以系數(shù)和相加等基本運(yùn)算組成，可以組合成直接型、正準(zhǔn)型、級(jí)聯(lián)型、并聯(lián)型四種結(jié)構(gòu)形式，都具有反饋回路。由于運(yùn)算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。 數(shù)字濾波器在設(shè)計(jì)上可以借助成熟的模擬濾波器的成果，如巴特沃斯、契比雪夫和橢圓濾波器等，有現(xiàn)成的設(shè)計(jì)數(shù)據(jù)或圖表可查，其設(shè)計(jì)工作量比較小，對(duì)計(jì)算工具的要求不高。在設(shè)計(jì)一個(gè) IIR 數(shù)字濾波器時(shí)，我們根 據(jù)指標(biāo)先寫出模擬濾波器的公式，然后通過一定的變換，將模擬濾波器的公式轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的公式。 數(shù)字濾波器的相位特性不好控制，對(duì)相位要求較高時(shí)，需加相位校準(zhǔn)網(wǎng)絡(luò)。 在 MATLAB 下設(shè)計(jì) IIR 濾波器可使用 Butterworth 函數(shù)設(shè)計(jì)出巴特沃斯濾波器，使用 Cheby1 函數(shù)設(shè)計(jì)出契比雪夫 I型濾波器，使用 Cheby2 設(shè)計(jì)出契比雪夫 II 型濾波器，使用 ellipord 函數(shù)設(shè)計(jì)出橢圓濾波器。下面主要介紹前兩個(gè)函數(shù)的使用。 與 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)不同， IIR 濾波器設(shè)計(jì)時(shí)的階數(shù)不是由設(shè)計(jì)者指定，而 是根據(jù)設(shè)計(jì)者輸入的各個(gè)濾波器參數(shù)（截止頻率、通帶濾紋、阻帶衰減等），由軟件設(shè)計(jì)出滿足這些參數(shù)的最低濾波器階數(shù)。在 MATLAB 下設(shè)計(jì)不同類型 IIR 濾波器均有與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。 IIR 單位響應(yīng)為無限脈沖序列 FIR 單位響應(yīng)為有限的 。iir 幅頻特性精度很高，不是線性相位的，可以應(yīng)用于對(duì)相位信息不敏感的音頻信號(hào)上； fir 幅頻特性精度較之于 iir 低，但是線性相位，就是不同頻率分量的信號(hào)經(jīng)過 fir 濾波器后他們的時(shí)間差不變。這是很好的性質(zhì)。 另外有限的單位響應(yīng)也有利于對(duì)數(shù)字信號(hào)的處理，便于編程，用于計(jì)算的 時(shí)延也小，這對(duì)實(shí)時(shí)的信號(hào)處理很重要。 數(shù)字濾波器是具有一定傳輸選擇特性的數(shù)字信號(hào)處理裝置 ,其輸入、輸出均為數(shù)字信號(hào) ,實(shí)質(zhì)上是一個(gè)由有限精度算法實(shí)現(xiàn)的線性時(shí)不變離散系統(tǒng)。它的基本工作原理是利用離散系統(tǒng)特性對(duì)系統(tǒng)輸入信號(hào)進(jìn)行加工和變換 ,改變輸入序列的頻譜或信號(hào)波形 ,讓有用頻率的信號(hào)分量通過 ,抑制無用的信號(hào)分量輸出。數(shù)字濾波器和模擬濾波器有著相同的濾波概念 ,根據(jù)其頻率響應(yīng)特性可分為低通、高通、帶通、帶阻等類型 ,與模擬濾波器相比 ,數(shù)字濾波器除了具有數(shù)字信號(hào)處理的固有優(yōu)點(diǎn)外 ,還有濾波精度高 (與系統(tǒng)字長(zhǎng)有關(guān) )、穩(wěn)定性 好 (僅運(yùn)行在 0 與 l 兩個(gè)電平狀態(tài) )、靈活性強(qiáng) 12 等優(yōu)點(diǎn)。數(shù)字濾波器按單位脈沖響應(yīng)的性質(zhì)可分為無限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器 IIR和有限長(zhǎng)單位脈沖響應(yīng)濾波器 (FIR)兩種。本文介紹 (IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)與分析。 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)思路與步驟 IIR 數(shù)字濾波器可用一個(gè) n階差分方程 y(n)=Σ brx(nr)+Σ aky(nk), 或用它的 Z域系統(tǒng)函數(shù) : 對(duì)照模擬濾波器的傳遞函數(shù) : 不難看出 ,數(shù)字濾波器與模擬濾波器的設(shè)計(jì)思路相仿 ,其設(shè)計(jì)實(shí)質(zhì)也是尋找一組系數(shù) {b,a},去逼近所要求的頻率響應(yīng) ,使其在性能上滿足預(yù)定的技術(shù)要求 。不同的是模擬濾波器的設(shè)計(jì)是在 S 平面上用數(shù)學(xué)逼近法去尋找近似的所需特性 H(S),而數(shù)字濾波器則是在 Z 平面尋找合適的 H(z)。 IIR 數(shù)字濾波器的單位響應(yīng)是無限長(zhǎng)的 ,而模擬濾波器一般都具有無限長(zhǎng)的單位脈沖響應(yīng) ,因此與模擬濾波器相匹配。由于模擬濾波器的設(shè)計(jì)在理論上已十分成熟 ,因此數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是 將 H(S)→ H(Z),即 ,利用復(fù)值映射將模擬濾波器離散化。已經(jīng)證明 ,沖擊響應(yīng)不變法和雙線性變換法能較好地?fù)?dān)當(dāng)此任 ,則在此基礎(chǔ)上 ,數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)就可首先歸結(jié)為模擬濾波器的設(shè)計(jì)了。 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟如圖 所示。 圖 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)步驟 IIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方法 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有多種 ,可歸納為下述兩種。 1 .傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法 根據(jù)前述設(shè)計(jì)思路 ,首先設(shè)計(jì)一個(gè)模擬原型濾波器 (截止頻率為 1rad/s 的低通濾波器 ),然后在模擬域 (S平面 )進(jìn)行頻率變換 ,將模擬原形濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo) 指標(biāo)參數(shù)變換 模擬濾波器技術(shù)指標(biāo) 相應(yīng)模擬濾波器設(shè)計(jì) 模擬濾波器離散化 數(shù)字濾波器 13 (指定截止頻率的低通、高通、帶通、帶阻 )的模擬濾波器 ,再將其數(shù)字離散化 ,從 S平面映射至 Z 平面 ,得到所需技術(shù)指標(biāo)的數(shù)字濾波器。 上述過程中 ,也可先將模擬原型離散化 ,得到數(shù)字原型濾波器 ,繼而在數(shù)字域 (Z平面 )進(jìn)行頻率變換 ,得到所需類型的數(shù)字濾波器。 模擬濾波器到數(shù)字濾波器的轉(zhuǎn)換可在時(shí)域進(jìn)行也可在頻域?qū)崿F(xiàn) ,時(shí)域轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵是要使數(shù)字濾波器與模擬濾波器時(shí)域響應(yīng)的采樣值相等 ,以保持其瞬態(tài)特性不變 ,常用的是沖擊響應(yīng)不變法。頻域變換法必須使得數(shù)字濾波器在 π≤ω≤π范圍內(nèi)的幅頻特性與模擬濾波器在 π /T≤Ω≤π /T 范圍內(nèi)的幅頻特性一致 ,即保證 S平面與 z 平面上幅頻特性的一一單值對(duì)應(yīng)關(guān)系 ,常用的是雙線性變換法。 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方 法思路清晰 ,步驟詳盡 ,可參閱公式、手冊(cè)循章而行。但由于計(jì)算繁瑣 ,手工計(jì)算大多只能用來進(jìn)行簡(jiǎn)單低階選頻濾波器 (如 LP,HP,BP 及 BS 等 )的設(shè)計(jì)。計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)方法是集電路理論、網(wǎng)絡(luò)圖論、數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、元件建模、優(yōu)化技術(shù)、高級(jí)計(jì)算機(jī)語言等多交叉學(xué)科于一身的新領(lǐng)域 ,它把計(jì)算機(jī)的快速、高精度、大存儲(chǔ)容量、嚴(yán)格的邏輯判斷和優(yōu)良的數(shù)據(jù)處理能力與人的思維創(chuàng)造能力充分結(jié)合起來 ,極大地簡(jiǎn)化了數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)過程。在優(yōu)秀科技應(yīng)用軟件 MATLAB 的信號(hào)處理工具箱中 ,提供了一整套模擬、數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)命令和運(yùn)算函數(shù) ,方便準(zhǔn) 確 ,簡(jiǎn)單易行 ,使得設(shè)計(jì)人員除了可按上述傳統(tǒng)設(shè)計(jì)步驟快速地進(jìn)行較復(fù)雜高階選頻濾波器的計(jì)算、分析外 ,還可通過原型變換法直接進(jìn)行各種典型數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) ,即應(yīng)用 MATLAB 設(shè)計(jì)工具從模擬原型直接變換成滿足原定頻域指標(biāo)要求的數(shù)字濾波器。 3 .4 各種設(shè)計(jì)方法的 MATLAB 實(shí)現(xiàn) 基于模擬低通原型的